Montrer que si n et m sont deux entiers naturels dont l'un n'est pas un carré, racine(n) + racine(m) est irrationnel.
Indice: calculer l'inverse de racine(n) + racine(m).
Je pouvais répondre facilement en disant que la somme d'un rationnel (l'entier qui est un carré ici) et d'un irrationnel est un irrationnel.
Mais l'indice me perturbe ...
Une idée ?
Si c'est un rationnel, son inverse également.
Je raisonne par l'absurde.
Je suppose que racine(m) + racine (n) est rationnel;
alors "son inverse également."
1 / (racine(m) + racine(n)) = (racine(m) + racine(n)) / (m +racine(mn) +n).
Le numérateur est rationnel par hypothèse du raisonnement.
*Si m est un carré et pas n :
Alors le dénominateur est irrationnel car: - le produit d'un rationnel non nul et d'un irrationnel est un irrationnel ;
- la somme d'un rationnel et d'un irrationnel est un irrationnel.
L'inverse d'un irrationnel est aussi un irrationnel, donc :
(racine(m)+ racine(n)) * (1 / (m + racine(mn) +n) est irrationnel.
Cela est contradictoire avec l'hypothèse du raisonnement.
Donc racine(m) + racine (n) est irrationnel.
*Si n est un carré mais pas m: Idem.
*Si n ou m est nul:
Alors racine(m) + racine(n) = racine(m) ou racine(n) qui est irrationnel par hypothèse?
Cela m'amène à cette question : est-ce que la racine carrée de tout entier naturel (qui n'est pas un carré) est irrationnelle?
bonjour
pourrais-tu écrireautrement ?
en utilisant
Salut,
Attention: dire que l'un des deux nombres n'est pas un carré ne signifie pas que l'autre est forcément un carré. En particulier, il est possible que les deux nombres ne soient pas des carrés.Envoyé par Guigs.
C'est un détail mais a priori un rationnel peut être le quotient de deux irrationnels (par exemple,
Cordialement.
Ok.
acx01b, j'y ai pensé mais ensuite que faire ?
J'aurais en multipliant par la quantité conjuguée : (racine(m)-racine(n)) / (m-n).
J'ai commencé un raisonnement par l'absurde mais je n'arrive pas à aboutir à une contradiction :
Je suppose que: (racine(m)-racine(n)) / (m-n) est rationnel.
Donc il existe deux entiers naturels a et b tels que :
((racine(m) - racine(n) / (m - n)) = (a / b) ; et : PGCD(a;b)=1.
Alors: b(racine(m) - racine(n)) = a(m - n).
Je choisis que m est le carré par hypothèse.
Or je considère dans mon raisonnement par l'absurde que : racine(m) + racine(n) = rationnel.
Donc racine(n) est rationnel.
Donc il existe c et d entiers naturels tels que : racine(n) = (c / d) ;
et PGCD(c;d)=1.
On remplace racine(n) dans notre expression afin d'obtenir:
b(racine(m) - (c / d)) = a(m - n) => (-bc / d) = a(m - n) - b*racine(m)
=> bc = d* (-a(m - n) + b*racine(m))
On a supposé que m est un carré donc : (-a(m - n) - b*racine(m)) est un entier relatif.
Ainsi : d divise bc.
} => d'après le théorème de Gauss: d divise b.
PGCD (c;d) = 1
Donc il existe un entier k tel que d = bk.
Et ensuite je ne sais pas quoi faire pour aboutir à une contradiction.
Si vous voyez une contradiction ou le moyen d'en aboutir à une : merci de laisser un message. ^.^
Je reprends mon raisonnement par l'absurde.
Soit racine (m) entier et par hypothèse : racine(m) + racine (n) est rationnel.
Donc racine(n) est rationnel. Donc racine (n) = (c/d) où c et d sont des entiers naturels non nuls tels que PGCD(c;d)=1.
En reprenant une expression de mon post ci-dessus,on a :
b(racine(m)-racine(n))=a(m-n) => b(racine(m)-(c/d))=a(m-n)
=> b(d*racine(m)-c)=ad(m-n)
On en déduit d'après le théorème de Gauss que: b | d(m-n).
Donc: kb = d(m-n) (k entier relatif non nul).
Or: racine(n)=(c/d) => n (c²/d²)
Donc : kb = dm - (c²/d)
Or PGCD (c;d) =1 => (c²/d) irréductible
=> kb n'est pas entier.
=> b n'est pas entier (car k entier relatif).
Contradiction !
Donc pour tout m (tels que racine(m) est entier) et non n, alors racine(m) + racine (n) est irrationnel.
La démonstration est la même pour n étant un carré et non m.
je n'ai pas lu en détail mais par exemple j'ai vu :
ce qui n'est pas évident !Or je considère dans mon raisonnement par l'absurde que : racine(m) + racine(n) = rationnel.
Donc racine(n) est rationnel
je pensais faire comme ça pour résoudre ton exercice :
si on suppose acquis que
alors en écrivant
on a
et
je te laisse finir
Dans mon dernier post, j'ai préciser que :"Soit racine (m) entier"
Un entier + x = rationnel => x rationnel.
Cette implication me semble évidente.
Ton raisonnement est bien mais il ne tient pas compte à mon avis de la subtilité de l'exercice.
En effet, au début tu dis:" si on suppose acquis que racine(n) est irrationnel si n n'est pas un carré".
Si n n'est pas un carré, alors c'est m le carré donc racine(m) rationnel.
Donc racine(m)+racine(n) = un irrationnel.
On ne peut donc pas supposer acquis que si n n'est pas un carré alors racine(n) est irrationnel. Sinon l'indice de l'énoncé ne servirait à rien et l'exercice serait trop facile.
Néanmoins le reste de ton raisonnement me covient ; et merci d'avoir réfléchi au problème!
ce n'est pas parce que
ce qui est supposé acquis à mon sens :
si
alors on suppose qu'on peut écrire
on obtient
j'ai l'impression que tu "esquives" le cas où
Dernière modification par acx01b ; 22/09/2010 à 21h16.
Certes, mais dans ce cas-là à quoi servirait l'indice de l'exercie?
De plus, il serait trop facile de le résoudre si on SUPPOSE acquis que racine(n) est irrationnel si n n'est pas un carré.
On doit donc résoudre l'exercice sans faire cette supposition; à moins de démontrer que si un entier n'est pas un carré, alors sa racine est irrationnelle.
