Théoréme de Cantor

[invitee2abffa7]

Bonjour,

l'enoncé de théoréme de cantor dit que si on a un ensemble non vide( bien sur) par exemple A alors on a:
card(A)< card(P(A))
(ou P(A) est l'ensemble des parties de A)



ma question est comment démontre cette théoréme?
je pense qu'il y a peu des lemmes pour utilser dans la demonstartion
mais je ne sais pas.
et merci
-----

[Arkhnor]

Bonjour.

C'est assez classique, une recherche sur le net t'aurait permis de trouver une réponse.

L'idée, c'est de montrer que toute application n'est jamais surjective. Pour cela, on prouve que la partie n'a pas d'antécédent par .

Le théorème est aussi vrai pour un ensemble vide.

[Seirios]

Bonjour,

Le théorème est aussi vrai pour un ensemble vide.

Mais si l'on revient à la définition formelle d'une fonction (en tant que graphe), , et il n'existe qu'une seule application de dans , qui correspond au graphe ; et justement, pour que cette fonction soit surjective, il faut : , énoncé qui est bien vrai, non ?

[invite4ef352d8]

oui mais P(vide) n'est pas vide : c'est un singleton.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Effectivement, , donc si l'on reprend ce que j'ai écrit, effectivement une telle surjection n'existe pas

Merci

[invitee2abffa7]

la chose que j'ai compris maintenant c'est qu'il y a plusieurs infini n'est c Pas?
par exemple
- card(N)< card(R) <card(P(R))
est ce qu'on peut trouver un ensemble tel que le cardinale est entre card(N) et
card(R)?

[Seirios]

est ce qu'on peut trouver un ensemble tel que le cardinale est entre card(N) et card(R)?

Je sais que la réponse est non, mais il faudra attendre quelqu'un avec de meilleures connaissances en théorie des ensembles pour les détails.

[invite57a1e779]

est ce qu'on peut trouver un ensemble tel que le cardinale est entre card(N) et card(R)?

La réponse dépend de la théorie dans laquelle on travaille.

[Seirios]

Je ne savais pas que la réponse n'était pas univoque ; comment cela se passe exactement ?

[invitee2abffa7]

La réponse dépend de la théorie dans laquelle on travaille.

théorie des ensembles

[invitee2abffa7]

cantor est devenue fou avec ce probléme la

[Médiat]

Dans la théorie ZFC qui est la théorie des ensembles la plus courante, savoir s'il existe des cardinaux strictement entre et est une question connue sour le nom d'hypothèse du continu (nom historique, aujourd'hui source de confusion), Gödel (1937 une partie du résultat) puis Cohen (1963, l'autre partie) ont démontré que cette proposition était indécidable dans ZFC (et que donc on peut choisir de travailler avec cet hypothèse comme axiome, ou avec son contraire).

Les travaux de Woodin sur l'-logique ont eu tendance à donner un argument pour choisir non HC, mais au dernières nouvelles, Woodin lui-même ne serait plus si sur que c'est la bonne idée.