Montrer qu'une fonctione continue est intégrabel aus ens de Rieman

Anthony39 · 04/10/2010 - 08h24

Bonjour,

Suite à mon cours de licence 2 de maths on me pose la question suivante:

f est continue sur [a,b] => f est intégrable au sens de Rieman.

Les pistes proposées sont :

- les sommes de Darboux associés à f sur une subdivision uniforme de [a,b]
- le théorème de Heine:
toute application continue d'un espace métrique compact dans un espace métrique quelconque est uniformément continue. Cela implique notamment que toute fonction continue d'un segment [a,b] dans est uniformément continue.

( source wikipédia)

J'ai commencé des recherches dans wikipédia pour trouver une méthodologie mais pour l'instant rien ne me vient.

Je me demande si comme le suggère wikipédia. Il faut utiliser les formes de Darboux en disant que l'intégrale de f correspond au limite de Darboux quand le pas des subdivisions tend vers 0. Et dire que lorsqu'une fonction est continue les deux limites des sommes de Darboux majorante minimal et minorante maximale convergent vers la même somme.

Tout ceci n'est pas très clair dans mon esprit et j'attend votre aide pour faire le point avec moi des élements à démontrer et m'aiguiller sur la procédure à suivre.

Merci d'avance,

Anthony

Arkhnor · 04/10/2010 - 10h50

Bonjour.

Si $\sigma$ est une subdivision de $[a,b]$ , je note $S(f,\sigma)$ et $I(f,\sigma)$ les sommes de Darboux supérieures et inférieures de $f$ .

$f$ est Riemann-intégrable sur $[a,b]$ si et seulement si pour tout $\epsilon > 0$ , il existe une subdivision $\sigma$ telle que $S(f,\sigma) - I(f,\sigma) \le \epsilon$ .
C'est un critère qui doit très certainement figurer dans ton cours, sinon, il n'est pas difficile de le prouver.

On se donne donc $\epsilon > 0$ .
Comme $f$ est continue sur $[a,b]$ , d'après le théorème de Heine, elle est uniformément continue, et il existe donc $\eta > 0$ tel que pour $x,y \in [a,b]$ , $|x-y| < \eta \; \Longrightarrow |f(x) - f(y)| < \epsilon$ .
Considère une subdivision uniforme dont le pas est inférieur à $\eta$ et montre qu'elle convient. (à un facteur multiplicatif près pour $\epsilon$ )

Anthony39 · 04/10/2010 - 12h29

Bonjour,

Merci pour l'aide,

voici mon raisonnement, Je trouve que:

S=somme( M_i(x_i-x_i-1)
I = somme(m_i(x_i-x_i-1)

du coup:

S-I=somme((M_i-m_i)(x_i-x_i-1))

Or si 1/n<η alors x_i-x_i-1<1/n
et : M_i-m_i)<ε

donc:

S-I<somme(1/n*ε)=ε

ce qui prouverait bien que ma fonction continue sur un intervalle bornée est intégrable au sens de Riemann.

Le raisonnement est-il exacte?

Merci

Anthony

Arkhnor · 04/10/2010 - 13h05

Tout est correct, mis à part le fait que la somme finale n'est pas tout à fait égale à $\epsilon$ . (le pas de ta subdivision doit être de la forme $\frac{b-a}{n}$ , et non pas $\frac 1 n$ )

Mais c'est presque un détail.

Anthony39 · 04/10/2010 - 15h52

Bonjour,

excuse moi pour l'erreur, en fait à l'exercice d'avant l'intervale était [0;1] donc je suis resté dans ma formule particulière . Je prend note de l'erreur et je te remercie pour ton aide précieuse.

Bonne journée

Anthony