à l'aide exo d'arithmetique

[alexandre21]

bonjour tout le monde, je suis nouveau sur le forum
et j'ai un exercice à proposer

Montrer que pour tout entier n, 4^n+15n-1 est divisible par 9

ps : je ne trouve pas la solution

aidez moi, svp
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[invitef707e9ad]

bonjour, tu peux utiliser une réccurence

[alexandre21]

n=1 c'est vrai

4^(n+1)+15(n+1)-1=4*4^n+15n-1+15
et j'arrive plus à avancer

[silk78]

Bonjour,

J'ai pas fait d'arithmétique depuis longtemps mais une récurrence devrait te permettre de conclure, le point clé étant l'étude de u_n+1-u_n, avec u_n=4ⁿ+15n-1.

Essaye et reviens si tu n'y arrives pas
Silk

PS : si tu n'y arrives pas, met quand même sur le forum ce que tu as réussi à faire

[A voir en vidéo sur Futura]

[alexandre21]

je viens de faire la recurence

n=1 c'est vrai

soit u est vrai au rang n

4^(n+1)+15(n+1)-1=4*4^n+15n-1+15
et j'arrive plus à avancer

[Médiat]

Il suffit d'écrire :

[alexandre21]

merci, merci et mille fois merci

[Lelouch]

Avec les congruences ça se fait facilement.

[alexandre21]

tu peux developper un petit peu s'il te plait Lelouch

[Lelouch]

Si:




n.......=...0...1...2...3...4. ..5...6...7...8...(9)
..=...1...4...7...1...4...7... 1...4...7
15n-1=...8...5...2...8...5...2...8 ...5...2
S......=...0....0...0...0...0. ..0...0...0...0 (9)

avec

CQFD
La plupart des "=" sont des congruences.

[alexandre21]

un très beau CQFD

MERCI Lelouch

[Médiat]

Si:




n.......=...0...1...2...3...4. ..5...6...7...8...(9)
..=...1...4...7...1...4...7... 1...4...7
15n-1=...8...5...2...8...5...2...8 ...5...2
S......=...0....0...0...0...0. ..0...0...0...0 (9)

avec

CQFD
La plupart des "=" sont des congruences.

Je ne doute pas de l'intérêt des congruences mais utiliseriez-vous la même méthode pour montrer que

est divisible par 529 ?

[Lelouch]

De rien alexendre

Bien sur que non Mediat J'ai juste profiter de ce cas très particulier.

Et la aussi on peut en profiter ^^:



En utilisant la formule du binome de Newton on montre que:

[hhh86]

De rien alexendre

Bien sur que non Mediat J'ai juste profiter de ce cas très particulier.

Et la aussi on peut en profiter ^^:



En utilisant la formule du binome de Newton on montre que:

Avec le binôme de Newton, ça marche très bien

[Lelouch]

Plus généralement:
est divisible par

naturel non nul.

[hhh86]

à quoi sert le 2 ?

[Lelouch]

Je me suis inspiré du dernier exercice qui est de cette forme.
En fait il est plus de la forme avec .

Mais c'est vrai qu'il sert a rien.

[Médiat]

Bien sur que non Mediat J'ai juste profiter de ce cas très particulier.

Faire 9 calculs au lieu de 1, j'ai du mal à appeler ça "profiter d'un cas particulier"

[Lelouch]

profiter de ne pas faire une demo "très mécanique"