Polynome de Legendre

[Amanda83]

Bonjour
alors voici le problème qui me pose problème

Dans toute cette partie, pour tous P,Q ∈ ℝ[X] on note < P,Q > le nombre réel :
.
1) Montrer que l’application : ℝ[X]×ℝ[X] −→ ℝ, (P,Q) →< P,Q > définit un produit
scalaire sur ℝ[X].
2) Soient m et n dans ℕ. Établir la formule
n(n + 1) < Ln,Lm >= m(m + 1) < Lm,Ln > .
3) En déduire que, pour tout n ∈ ℕ, la famille (L0, ...,Ln) est une base orthogonale de ℝn[X].
4) Soit n ∈ ℕ∗.
a) Montrer que Ln ∈ (ℝn−1[X])⊥.
b) Notons x1, ..., xr les racines deux à deux distinctes de Ln qui sont dans ] − 1, 0[ et
qui sont d’ordre de multiplicité impair (avec r = 0 s’il n’y en a pas).
À l’aide de a), montrer qu’on ne peut pas avoir r ≤ n − 1.
c) En déduire que Ln a n racines simples dans ] − 1, 0[.
5) Soit n ∈ ℕ. Après avoir montré qu’il existe (0, ..., n) ∈ ℝn+1 tel que
Ln(−X − 1) = 0L0 + ... + nLn,
établir l’égalité :
Ln(−X − 1) = (−1)nLn(X).
Préciser la valeur de Ln(−1).

Alors j'ai réussi les premières questions, en fait jusqu'à la 4.b) où je reste bloquée, je ne sais pas par ou commencer et j'ai même du mal à comprendre la question.
Malgres cela j'ai fait la 4.c) et je reste bloquée à la 5).
(Ceci est un extrait de Capes pour les sources)

Merci de votre aide

Amanda

[sebsheep]

Qui sont les ?

La 4.a me semble (trop ?) évidente avec la 3. :
(L_0,...,L_n) est une b.o.n de , donc L_n est orthogonal avec tous les L_i pour i<n. Et donc L_n est bien orthogonal à ( on aura <L_n, P > = 0 pour tout P dans ).

Pour la 5, je ne comprends pas les notations: (0,...,n) dans R^n+1 ? What does it mean ?

[Amanda83]

La 4.a) est évidente c'est la 4.b) qui me pose problème .
Par contre je n'avais pas vu les erreurs de recopiage de la question 5.
C'est:
5) Soit n ∈ ℕ. Après avoir montré qu’il existe ∈ ℝn+1 tel que
,
établir l’égalité :
.
Préciser la valeur de Ln(−1).