Définition de i

[g_h]

Bonjour,

En relisant mon cours, je me suis aperçu que mon prof avait défini le nombre i comme :



N'est-ce pas un peu léger comme définition ?
Puisque l'équation x² = -1 a 2 solutions, pourquoi privilégier une solution plutôt que l'autre ?
Et même, différencier ces 2 solutions complexes nécessite d'avoir préalablement construit l'ensemble , non ? Et construire l'ensemble demande pourtant de définir un nombre i...

Comment résoudre ce petit paradoxe ? (qui n'en est sûrement pas un, mais bon...)

Merci !

[Romain-des-Bois]

Bonjour,

En relisant mon cours, je me suis aperçu que mon prof avait défini le nombre i comme :



N'est-ce pas un peu léger comme définition ?
Puisque l'équation x² = -1 a 2 solutions, pourquoi privilégier une solution plutôt que l'autre ?

Pouquoi deux solutions ?


et il me semble que c'est la bonne définition de i

ça t'aide pas beaucoup, mais ça confirme peut-être que ton prof n'a rien oublié

[Penangol]

je pense que ce que g_h veut dire, c'est que
i²=-1 <=> i=sqrt(-1) OU i=-sqrt(-1)

[g_h]

Pouquoi deux solutions ?

Hé bien, i et -i !

Sinon, sqrt(-1) ne veut rien dire, justement car on ne peut peut pas privilégier l'uine des 2 racines carrées (pas de relation d'ordre)

[Romain-des-Bois]

OK, c'est ce à quoi je pensais.

je vois ce que tu veux dire. Mais il fallait bien en choisir une

[g_h]

OK, c'est ce à quoi je pensais.

je vois ce que tu veux dire. Mais il fallait bien en choisir une

Qu'est-ce qui nous assure qu'on prend la même à chaque fois qu'on construit ? Vu qu'on définit i comme UNE solution de l'équation x² = -1, il n'y a pas d'autre contrainte...

Et dans ce cas il existe 2 ensembles complexes et pour lesquels un élément de l'un est égal au de l'autre (bon ok, ça veut peut-être rien dire ce que je dis)

[evariste_galois]

En fait, on peut définir i autrement.

On considère l'ensemble des 2-uplets de réels, i.e {(a,b) ; a et b dans lR} .

On muni cet ensemble de deux opérations internes:
"+" : (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d), où a, b, c et d sont réels
"*" : (a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc), où a, b, c et d sont réels

Pour des raisons de commodités, on identifie (a,0) à a, où a est un réel.
De plus, on pose i=(0,1), de sorte que tout couple de réel s'écrive (a,b)=a+bi

On remarque que i²=(0,1)*(0,1)=(-1,0)=-1 .

On vient de construire le corps des nombres complexes. (avec quelques raccourcis!).
C'est aussi un lR-ev, et l'ensemble {(a,0) ; a réel} est isomorphe à lR, d'où l'identification précédente de (a,0) à a.

[g_h]

Hmm, ok, c'est déjà plus clair !

Merci !

[C.B.]

En fait, la construction de C telle qu'elle présentée ici n'est pas complètement rigoureuse.

Il faudrait soit démontrer que l'on peut étendre le corps R en un corps C qui est engendré en tant que corps par une racine de x²-1.
Soit construire C puis dire qu'il contient les racines de x²-1 et appeller une de ces racines "i"

Donc, tu as ^parfaitement raison quand tu dis :

Et même, différencier ces 2 solutions complexes nécessite d'avoir préalablement construit l'ensemble , non ? Et construire l'ensemble demande pourtant de définir un nombre i...

Votre professeur a du choisir cette méthode car elle est la plus simple à expliquer et ne nécessite pas de connaissance complètes ou de "preuves lourdes".

Comment résoudre ce petit paradoxe ? (qui n'en est sûrement pas un, mais bon...)

Facile : il suffit de montrer que l'on peut "construire" C.

Une méthode compéhensible dès le lycée :
On pose : C=R².
On définit sur C les deux opérations + et * par :
(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)
(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)

On pose alors i=(0,1) et 1=(1,0).
On identifie le réel r avec (r,0).

Un nombre complexe a+ib est donc le couple (a,b).


Une fois le corps C construit, on vérifie toute les bonnes propriétés.


Il existe une autre méthode, plus jolie et surtout plus intuitive, mais elle demande des connaissances en algèbre. J'ignore si tu dispose ou non de ces connaissances, mais je donne quand même cette autre construction :
On pose C=R[X]/(X²-1).
Comme X²-1 est irréductible dans R[X], C est est un corps.
On note i la classe de X, donc i²-1=0.

[evariste_galois]

Il y a une autre construction, un peu plus technique que la précédente, et qui demande quelques connaissances supplémentaires, d'algèbre générale notamment.
Il s'agit de quotienter lR[X], ensemble des polynômes à coefficients dans lR, par l'idéal (X²+1)lR[x] (idéal engendré par (X²+1)).
On obtient alors l'ensemble lR[x]/(X²+1)lR[x] qui est isomorphe à C.
Alors, i représente la classe d'équivalence de X, i.e i=cl(X) .

EDIT : C.B m'a devancé.

[Draune]

Et si en choisissant i de deux façon différentes (les deux racines de l'équation), tu tombe sur 2 ensembles isomorphes!!! Donc en gros c'est les mêmes!
Draune

[BS]

Oui, sauf que CB aurait dû écrire X^2+1 car ce qu'il a construit n'est pas un corps.

[BS]

Et si en choisissant i de deux façon différentes (les deux racines de l'équation), tu tombe sur 2 ensembles isomorphes!!! Donc en gros c'est les mêmes!
Draune

En gros, car c'est le genre de choses auxquelles il faut faire attention. On identifie d'habitude deux structures quand elles sont "unique à isomorphisme unique près". C'est par exemple le cas de IR, plus précisément : un corps totalement ordonné complet est unique à isomorphisme unique près (dans la catégorie des corps), mais ce n'est pas le cas de C, car justement C possède un automorphisme non trivial (même dans la catégorie des corps topologiques), et entre deux structures isomorphes à C, il peut y avoir plusieurs isomorphismes différents, c'est alors plus délicat de les identifier (par que isomorphisme ?). Cependant on n'a plus ce problème si on considère "une clôture algébrique de R muni d'un choix d'une racine de -1", il y a alors un unique isomorphisme continu préservant ces choix entre deux telles structures.

[C.B.]

Oui, sauf que CB aurait dû écrire X^2+1 car ce qu'il a construit n'est pas un corps.

En effet, il faut remplacer dans mon message tous les X²-1 par des X²+1.