arctan(tan(...))= ?

[invite31c09461]

Bonsoir,

J'ai une question sur l'énoncé suivant (qui découle d'un calcule d'intégrale) :
Soit appartenant à
On calcule
Or (on a bien alpha différent de 0) et
Bref, je passe les étapes de calcul, on trouve
Cependant, mon prof m'affirme (sans vouloir m'expliquer pourquoi) que le calcul ne serait pas valable si appartenait à , et je comprends pas pourquoi, quelqu'un pourrait-il m'expliquer?

Merci d'avance,

Romain

PS: Vue la pénibilité de l'écriture, il n'est peut être pas nécessaire que vous rédigiez tout en Latex, je me débrouillerai sans!
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[invitefa064e43]

salut

le truc de f(g(x)) qui donne x, ça marche si f est la réciproque de g, n'est-ce-pas ?

or arctan n'est pas vraiment la réciproque de tan : R->R
car tan n'est pas bijective de R dans R. Elle ne peut donc pas avoir de réciproque.
Il faut restreindre le domaine de définition de tan pour qu'elle devienne bijective. Il y a plusieurs manière de le faire, et on en a gardé une (un peu arbitrairement) pour ensuite définir la réciproque arctan.



arctan est la réciproque de la fonction tan définie sur ....... (à remplir !)

il faut voir comment tu as définis arctan exactement...

mais perso, je suis d'accord avec ton prof sur un bout de sa remarque, mais pas complètement. Je crois qu'il s'est un peu embrouillé (mais ça dépend comment vous avez défini arctan en cours aussi). Dans tous les cas, c'est vrai qu'il y a un problème et qu'on ne peut pas simplifier aussi simplement sans prendre garde à où on est.


pour te faire comprendre concrètement le problème, prend ta calculette (et parlons en degré pour faire simple)

fait arctan(tan(10))
arctan(tan(-10))
arctan(tan(80))
arctan(tan(-80))
arctan(tan(100))
arctan(tan(-100))
arctan(tan(160))
arctan(tan(-160))

[invite2bc7eda7]

Bonsoir,

arctan est définie de la facon suivante : la fonction tangente est strictement croissante de ]-pi/2,pi/2[ donc bijective. Arctan est la fonction réciproque de tan (définie de ]-pi/2,pi/2[ dans IR)

ainsi on a arctan qui est définie de IR dans ]-pi/2,pi/2[ ...

il faut donc faire attention aux simplifications éventuelles...

bonsoir

[invite31c09461]

On a défini la fonction t->arctan(t) comme suit :
Quelque soit u un réel, quelque soit v dans -pi/,pi/2, v=arctan(u)<=>u=tan(v)
Je comprends l'idée, par exemple arctan(tan(pi))=0 et non pi. Il me semble comprendre pourquoi en observant les graphes, mais en pratique, comment trouver pi et non 0 en faisant ce calcul ? Autrement dit, comment mener le calcul précédent si alpha est compris dans l'intervalle opposé?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite31c09461]

Est-ce que ça se tiendrait, sur le plan de la rigueur, d'écrire pi=k*arctan(tan(pi/k)), avec k dans ]0,2[ ? Ca me semble un peu hasardeux mais jvois pas tellement comment faire autrement...

[invite31c09461]

Excusez moi, je voulais dire k supérieur à 2

[invite2bc7eda7]

En fait il faut se ramener dans ]-pi/2;pi/2[ pour utiliser la formule...

[invite31c09461]

Alors je crois avoir tout compris
Merci à vous!

[invite2bc7eda7]

Parfait alors