Montrer injective

[invite57c166fd]

bonjour,

soient
f: E ---->F
g:F------>G
montrer: g o f est injective ----> f est injective

et ma solution ci-dessous,

supposons x1,x2 appartiennent à E, g (f(x1))=g(f(x2)),
d'après la injectivité de g o f, on a f(x1)=f(x2)
ensuite je ne peux pas montrer
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[Gwyddon]

Bonjour,

Tout d'abord,

supposons x1,x2 appartiennent à E, g (f(x1))=g(f(x2)),
d'après la injectivité de g o f, on a f(x1)=f(x2)

Ce que vous écrivez est faux : si vous utilisez l'injectivité de gof, ce n'est pas f(x1)=f(x2) que vous avez, mais x1=x2 bien entendu.. Ce que vous avez écrit serait vrai si g était injective.

Ensuite, vous partez mal.

Vous voulez montrer que f est injective. Donc prenons x1 et x2 tels que f(x1)=f(x2), il s'agit de montrer que x1=x2.

Maintenant essayez d'utiliser gof en partant de f(x1)=f(x2).

Vous verrez qu'en réalité ce que vous cherchez à montrer est très facile

Cordialement,

G.

[invite57c166fd]

c'est ce que je ne comprends pas, la différence entre g est injective et (g o f) est injective, ils sont différents mais pourquoi? g(f(x)) est injective ça va dire g est injective est-ce que c'est faux

et j'ai une autre question, si on va montrer f est injective est-ce que c'est toujours supposons f(x1)=f(x2) tout d'abord?

merci beaucoup

[invite57c166fd]

et j'ai une autre question, si on va montrer g o f = IdE, c'est-à-dire il faut montrer (g o f) est bijective? mais pourquoi (g o f) = IdE lorsque (f o g) = IdF (je suis en grand désordre) merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gwyddon]

Bonjour,

c'est ce que je ne comprends pas, la différence entre g est injective et (g o f) est injective, ils sont différents mais pourquoi? g(f(x)) est injective ça va dire g est injective est-ce que c'est faux

Vous faites une confusion entre les fonctions g et gof. Ce sont deux fonctions différentes !

C'est donc pour cela que (a priori) l'injectivité de g et l'injectivité de gof ne sont pas reliées.

si f : A -> B (f s'applique sur des éléments de A et donne des éléments de B) et si g : B -> C, alors gof : A -> C

Donc gof s'applique sur des éléments de A, alors que g s'applique sur des éléments de B : ça n'a donc pas grand chose à voir

Je vous conseille de réviser les définitions des fonctions, car j'ai l'impression que c'est cela qui bloque.

et j'ai une autre question, si on va montrer f est injective est-ce que c'est toujours supposons f(x1)=f(x2) tout d'abord?

L'injectivité d'une application est la formalisation du concept intuitif suivant : une fonction est injective si "elle ne prend jamais deux fois la même valeur". Donc si je prend f : A -> B et que je prend deux éléments x1 et x2 de A, si jamais x1 est différent de x2 alors f(x1) est différent de f(x2) (f ne prend pas la même valeur deux fois).

Ce qui est équivalent à dire que si jamais f(x1)=f(x2), alors nécessairement x1=x2.

et j'ai une autre question, si on va montrer g o f = IdE, c'est-à-dire il faut montrer (g o f) est bijective?

Non, pas du tout. Si f: E -> F et g : F -> E, il faut montrer que si on prend n'importe quel x dans E, alors gof(x) = g[f(x)] = x

L'identité Id_E est la fonction identité de l'ensemble E, c'est-à-dire la fonction qui à tout élément x de E associe le même élément x.

mais pourquoi (g o f) = IdE lorsque (f o g) = IdF (je suis en grand désordre) merci

C'est vrai si f est injective, mais sinon je ne pense pas que cela soit vrai dans le cas général.

Cordialement,

G.