Convergence uniforme

invite74d6d3ec · 30/12/2010, 10h10

Salut,

Bon voilà j'ai un problème avec la série de fonction $\text{[math]}$ .

J'ai montré que cette série est définie sur $\text{[math]}$ et qu'elle converge uniformément sur $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ .

On me demande si la convergence est uniforme sur $\text{[math]}$ .

De ma part, la convergence n'est pas uniforme, mais je n'arrive pas à le démontrer, la série de fonctions ne convergera pas uniformément au voisinage de $\text{[math]}$ , j'ai essayé de trouver une suite appropriée ou d'infirmer le critère de Cauchy, mais en vain....

Si vous avez des idées, je suis preneur.

Merci

**Seirios** · 30/12/2010, 10h26

Bonjour,

On voit bien que le problème est en zéro, donc en remplaçant x par une suite qui tend vers zéro bien choisie, tu devrais pouvoir montrer que la convergence n'est pas uniforme ; la suite $\text{[math]}$ me parait adaptée

**Garf** · 30/12/2010, 11h31

Une autre méthode (assez similaire dans les faits) consiste à regarder de plus près la vitesse de convergence. Je pose :

$\text{[math]}$

La convergence uniforme de la série vers sa limite est équivalente à la convergence uniforme de la suite de fonctions $\text{[math]}$ vers 0. Or, on a :

$\text{[math]}$

Clairement, il y a un problème : pour tout $\text{[math]}$ , on peut trouver $\text{[math]}$ (proche de 0) tel que ce reste soit aussi grand que souhaité. La façon dont Phys2 procède est plus compacte et convient mieux si l'on recherche une rédaction courte, mais elle a l'inconvénient de balancer une astuce sans que l'on voie exactement d'où elle vient (alors qu'en attendant un peu, la suite (1/n) arrive naturellement). Après, c'est une question de goût...

**mimo13** · 30/12/2010, 14h41

[à supprimer]

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite74d6d3ec · 30/12/2010, 14h42

Salut,

Envoyé par Phys2

Bonjour,

On voit bien que le problème est en zéro, donc en remplaçant x par une suite qui tend vers zéro bien choisie, tu devrais pouvoir montrer que la convergence n'est pas uniforme ; la suite $\text{[math]}$ me parait adaptée

Le problème c'est que j'y est déjà pensé mais je n'arrive pas à minorer le reste: $\text{[math]}$

En fait, je voulais utiliser la décroissance de $\text{[math]}$ mais sans résultat. (Je ne peux pas parler du reste de $\text{[math]}$ car ça diverge)

La méthode de Garf me convient, je voulais juste savoir comment tu allais procéder.

Merci à vous.

**Thorin** · 30/12/2010, 14h50

Convergence uniforme