Convergence uniforme

invite97b1ac47 · 14/10/2006, 19h56

Bonjour/bonsoir à toutes et tous.
J'ai un petit problème sur un exo portant sur la convergence uniforme. Je n'ai jamais eu de cours dessus et je n'ai que la définition:
"pour tout epsilon>0, il existe N naturel tq pour tout x appartenant à I et pour tout n naturel, (n>N => abs(fn(x)-l(x))<epsilon)" où (fn) est une suite de fonctions d'un intervalle I dans R et l une fonction de I dans R.
Et je dois montrer que qqsoit x de [0;1], gn(x) définie par n*x^n(1-x) ne converge pas uniformément vers la fonction x->0
J'ai essayé de chercher des contre exemples mais ça marche pas d'enfer.
Donc si quelqu'un pouvait me donner pas forcément la réponse mais simplement un point de départ, je lui en serais très reconnaissant.
Merci d'avance.

**edpiste** · 14/10/2006, 20h11

pour n fixé, calcule la valeur maximale de |gn(x)|. Dire que gn tend vers 0 uniformément revient à dire que cette valeur maximale tend vers 0.

invite97b1ac47 · 14/10/2006, 20h16

OUi mais précisément pour x=1, gn tend vers 0 avec n fixé donc gn tendrait uniformément vers x->0, non? Or je dois montrer le contraire.

invite97b1ac47 · 14/10/2006, 20h21

Ah non j'ai rien dit. J'avais mal lu. Donc je cherche pour un n fixé le x tq gn(x) est maximale, puis en faisant tendre n vers l'infini je montre que gn du x trouvé ne tend pas vers 0 c'est ça?

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invite97b1ac47 · 14/10/2006, 20h29

J'avias oublié de remercier, donc merci beaucoup...

**edpiste** · 14/10/2006, 20h50

Oui, tu as compris.
Dire qu'une suite de fonctions converge uniformément, c'est regarder l'écart maximal entre gn et sa limite supposée, et vérifier que cet écart tend vers 0.
Une question subsidiaire : existe-t-il une fonction g telle que ta suite converge uniformément vers g et sinon pourquoi ?

invite97b1ac47 · 14/10/2006, 23h02

Eh bien en fait j'ai un petit problème: je dérive gn, j'ai alors: gn'(x)=n*x^(n-1)*(n-nx-n). Sachant que x appartient à [0,1], et n naturel, j'en déduis que gn'(x)>0 <=> n-nx-x>0
soit x<n/(n+1)
Le maximum sur [0,1] de gn est donc pour x tend vers 1 quand n tend vers l'infini Ainsi, gn tend vers 0. J'aurais donc démontré que gn converge uniformément vers x->0, soit l'inverse de ce qu'il faut prouver!
Est-ce que quelqu'un voit l'erreur dans mon raisonnement, svp?
Merci d'avance

**edpiste** · 14/10/2006, 23h14

Es-tu sûr de tes calculs? gn vaut 0 en 1 et positif ailleurs, ça parait un peu difficile que son max soit en 1, non ?

invite97b1ac47 · 15/10/2006, 09h31

Erreur dans la limite peut-être: gn= nx^n*(1-x). Donc lorsque n tend vers +inf avec x->1, lim x^n=1^inf=> forme indéterminée. Bon je vais essayer de trouver ça avec des DL ou des équivalents.
Merci

**edpiste** · 15/10/2006, 11h38

Regarde par exemple g1. Cette fonction vaut x(1-x) et son maximum est pris en x=1/2 pax x=1 !
Reprends l'étude de la fonction gn calmement et trouve son point de maximum. CE N'EST PAS x=1.
Si tu ne sais plus faire une étude de fonction, je te renvoie au forum maths du secondaire...

invite97b1ac47 · 15/10/2006, 17h01

Euh oui, mais si je prend n=2500 c'est quand même largement plus proche de 1 que de 1/2...et je pense pas m'être planté dans ma dérivée...

invite97b1ac47 · 15/10/2006, 17h08

Pas cherché la bonne fonction... Je m'y remets, ça devrait marcher. Désolé pour toutes les bêtises que j'ai dites et merci du temps que tu m'as consacré, jai compris le principe de la convergence uniforme grâce à toi.
Merci beaucoup

invite97b1ac47 · 15/10/2006, 17h40

Ca me travaillait quand même de "ne pas savoir faire une étude de fonction":même si c'était pas celle là qui était demandée, ce que j'ai fait est exact.
Le max est en x=n/(n+1).
alors d'accord pour n=1, ca fait 1/2, mais pour n=2, ca fait 2/3, pour n=3, 3/4, n=99, 99/100, et pour n= 10^9, ca fait 10^9/(10^9+1). Et je suis désolé, ça, CA TEND VERS 1.

**edpiste** · 15/10/2006, 19h03

J'ai pas voulu te vexer, désolé.
Je suis d'accord que ta fonction gn prend son max en x=n/(n+1). Malgré tout gn(n/(n+1)) tend vers une constante non nulle, donc là encore, il n'y a pas CV uniforme vers 0.
Le fait que n/(n+1) tend vers 1 n'est pas important ce qui compte c'est la valeur de gn en ce point.

invite97b1ac47 · 15/10/2006, 21h10

T'en fais pas, c'est pas grave, j'arrive à digérer

.
Cependant, pour ma part, je pense qu'il est important de constater que x->1 pour voir que gn valant alors [1/(1+1/n)]^(n+1) est une FI en +inf (de type 1^inf). FI qui se résout par des DL et qui ne tend effectivement pas vers 0.
Donc merci du temps que tu m'as consacré, c'a m'a été très utile.
Merci encore et bonne nuit.

Convergence uniforme