Est ce que qqun peut m'expliquer de façon pas trop compliquée ce qu'est exactement la convergence uniforme ? Enfin, j'ai compris plus ou moins mais ce n'est pas clair.
Et puis la définition dit que fn -> f uniformément sur A si
sup{d(fn(a),f(a)):a€A}
Mais comment fait on pour calculer cette sup ? Je ne vois pas comment, grâce à cette définition, on peut démontrer qu'une fonction converge uniformément ou pas...
Si qqun pouvait m'éclairer...
Merci !
si le sup tend vers 0 quand n tend vers l'infini, sinon ça n'a pas de sens.Envoyé par amwus
Dans les cas très simples, tu peux calculer la borne supérieure.
Par exemple:
Sur R+,
fn(x) = nx sur [0;1/n]
fn(x) = 1 si x > 1/n
f(0) = 0
f(x) = 1 si x > 0
Pour tout x fn(x) tend vers f(x), mais la convergence n'est pas uniforme car le sup vaut toujours 1.
Sinon, il t a des cas où tu peux majorer facilement le sup par une suite qui tend vers 0.
Salut,
Dire qu'une suite de fonctions réelles Fn:I->R converge uniformément vers une fonction réelle F:I->R peut s'interpéter graphiquement: Etant donné le graphe de F, si on se donne un réel strictement positif e, et si on considère le graphe de F déplacé d'une longueur e vers le bas, et d'une longueur e vers le haut (on obtient donc une bande de largeur 2e autour du graphe de F), alors il existe un entier naturel N tel que, pour tout n>N, le graphe de Fn soit situé dans la bande de largeur 2e autour du graphe de F.
La convergence uniforme entraine évidemment la convergence simple , i.e pour tout x dans I, Fn(x) tend vers F(x), mais en plus la convergence a lieu "à la même vitesse" pour tout x dans I.
Dans la définition de la convergence uniforme, dire que sup{d(Fn(x),F(x))}<e est une façon commode d'exprimer que pour tout x dans I, d(Fn(a),F(a))<e.
Généralement, pour montrer qu'il y a convergence uniforme, on montre d'abord qu'il y a convergence simple, auquel cas on trouve une limite simple qui est la seule limite uniforme possible, si elle existe. Ensuite, on fixe un entier naturel n, et on essaie de trouver le sup de d(Fn(x),F(x)) pour x parcourant I. Si possible, on trouve alors une expression dépendant uniquement de n. Si cette expression tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini, il y a bien convergence uniforme, de limite uniforme la limite simple déjà trouvée.
Cordialement.
Je n'ai pas lu ce qui a été dit mais je ne doute pas que ca ai été très bien fait.
Cependant, voici mon point de vu:
On peut voir une fonction comme un ensemble de couples (x,f(x)) et on peut voir une suite de fonctions comme une suite d'ensemble de tels couples.
La convergence simple pose rarement de problème. En effet, on fixe un x, et on ne le fait plus bouger. Maintenant on regarde la suite (fn(x)), c'est une suite de nombres réels et on sait l'étudier. Si on fait ca pour tout x on étudie la convergence simple.
C'est une définition très naturelle, on peut aussi se la représenter ainsi (C'est une vision que j'aime beaucoup):
Si une suite de couples (x_n,y_n) converge vers (x,y), c'est équivalent à dire que x_n converge vers x et y_n converge vers y.
Si on fait la meme chose avec (x1_n,x2_n,x3_n) qui tend vers (x1,x2,x3) on arrive à la même conclusion.
Et ainsi de suite.
Si on regarde maintenant une fonction, comme une suite (ft_n) avec t qui varie sur un intervalle I, alors on dit que ft_n converge vers ft, si pour tout t, ft_n converge vers ft.
Exactement comme dans le cas des t-uples, sauf que cette fois ci, c'est un genre de t-uple avec t=infini (pas nécessairement dénombrable d'ailleurs)
La convergence uniforme peut parraitre moins naturelle, mais l'est tout autant.
On aime dire qu'une suite d'objets (A_n) tend vers l'objet A, si la distance entre les 2 tend vers 0.
Ici on aimerait que l'objet soit une fonction et définir une distance pour se servir de cette définition.
La distance est donc le sup de la norme de la différence, comme tu as vu dans ton cours. Ainsi ici l'objet est la fonction en elle même, et pas vraiment la valeur qu'elle prend.
Ainsi il faut que la distance sur l'ensemble des fonctions que l'on ai créé ne soit pas directement relié, ou alors pas trop, aux valeurs prisent par la fonction. Il faut que celle ci soit le plus possible propre à la fonction. (évidemment comme une fonction est définie comme un ensemble de valeurs prisent en certain point, c'est pas nécessairement évident de faire accepter ce point de vue immédiatement...)
Il se trouve que c'est le cas de la convergence uniforme. On donne une norme a une fonction, et c'est cette norme qui nous permet de créer la distance.
Ainsi fn converge vers f si ||fn-f|| tend vers 0.
Avec cette définition, la convergence ne dépend plus de chaque x, mais dépend de toutes les valeurs prisent dans leur globalité. Pas une en particulier.
Lorsque l'on avait nos t-uples précédemment, on pouvait faire la même chose, et il se serait alors trouvé que, les deux définitions étaient équivalentes (en général c'est fait en 2e année ou en fin de sup si on a le temps). Dans le cas de la cv uniforme et de la cv simple, ce n'est plus vrai, on a uniquement l'implication:
cv uniforme implique cv simple (sur l'ensemble considéré, évidemment).
Le meilleur exemple étant celui de la suite de fonctions (f_n(x)=x^n) définie sur [0,1].
Elle converge simplement vers la fonction f: nulle sur (0,1) et qui vaut 1 en 1.
Cependant la norme de f-fn est toujours 1, et ce, quelque soit n.
A+
Dernière modification par Quinto ; 24/01/2006 à 23h52.
Hum, d'abord merci pour toutes ces explications, c'est sympa ! Maintenant, voir si j'ai bien compris lol !
Donc, en gros, la fonction de base f(x) ne bouge pas elle alors ? Et dans ce cas, les fonctions fn(x) convergent vers f(x) si pour tout x, la distance entre les deux tend vers 0, pour tout point ?
Est ce que tu pourrais détailler un peu pour la convergence uniforme pour f_x = x^n ? Je visualise bien le graphe d'une telle situation, on a x, x^2, x^3 ...
Et dans ce cas, fn converge donc sur quoi exactement ? Rolalala c qd meme pas tout simple à piger !
Je précise que je suis en première année de fac en sciences physiques...
Merci encore !
Attention, la convergence concerne une application ( suivant un filtre ), une fonction ou une série ; la convergence uniforme concerne une famille de fonctions
Salut,
définie disons sur [0,1] converge ponctuellement vers
Par contre
D'ailleurs une limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue (c'est notamment à ça que sert la continuité uniforme).
Cordialement.
Argh !Salut,
[TEX]Par contre
[TEX]sup_{[0,1[}(f_n-f)=1/TEX]
pour tout n. Et donc, f_n ne converge pas vers f uniformément sur [0,1[.
Par contre, f_n converge uniformément sur tout intervalle [0,a], avec a <1.
Tout à fait, et je suis étonné que tu sois le seul à mentionner cette propriété, qui est l'une des raisons essentielles de la convergence uniforme. Comme on peut le voir ici, c'est faux avec la convergence simple (cf sur [0,1], f n'est pas continue).
Cela dit, en général, il est plus facile de voir vers quoi une suite de fonctions converge simplement vers, disons f pour changer. Après, si tu veux voir si la convergence est uniforme, tu as déjà identifié la seule limite possible : C'est forcément f ! Notamment, si f_n -> f simplement, f_n est une suite de fonctions continues, et f est discontinue, tu es sûr que f_n ne tend pas vers f uniformément.
__
rvz
c'est une propriété particulièrement utile dans l'étude des séries entières.Tout à fait, et je suis étonné que tu sois le seul à mentionner cette propriété, qui est l'une des raisons essentielles de la convergence uniforme. Comme on peut le voir ici, c'est faux avec la convergence simple (cf sur [0,1], f n'est pas continue).
Une autre propriété résultant de la convergence uniforme de
Oups!Argh !
[TEX]sup_{[0,1[}(f_n-f)=1/TEX]
pour tout n. Et donc, f_n ne converge pas vers f uniformément sur [0,1[.
Par contre, f_n converge uniformément sur tout intervalle [0,a], avec a <1.Je crois que j'ai droit au
Enfin je voulais bien sûr dire que
Mais une limite simple converge localement uniformément et la limite simple de fonctions continue est continue sur un ensemble dense, dès que l'ensemble de départ est complet et que l'espace d'arrivé est métrique.
Ici, le seul point de non continuité est 1.
A+
Oki ! Merci beaucoup pour vos réponses ! Je pense que j'ai compris ! Thanks
Qu'est ce que tu veux dire par là ?
L'uniformité ne me semble pas être une propriété locale
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rvz
Pourtant aussi surprenant que celà puisse être, c'est bien le cas
Ce qui veut dire ? Je ne comprends toujours pas. Qu'est ce que la convergence localement uniforme ?
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rvz
Cela signifie convergence uniforme sur tout compact.
Il y a des théorèmes qui régissent ces fonctions : comme celui de la "double limite", quand l'ensemble d'arrivée est localement compact
Si c'est ca, ce n'est pas ce que j'ai voulu exprimer, et il y'a donc confusion sur la terminologie:
fn une suite de fonctions de X vers Y. X est complet, Y est métrique.
fn converge simplement vers f sur X. Notons K l'ensemble des points de continuité de f.
On peut toujours trouver des ouverts dont K est l'intersection (dénombrable), sur lesquels la convergence est en fait uniforme.
En fait K est un
Pour plus d'infos, cf wikipedia.
A+
Ah d'accord !
C'est une conséquence du théorème de Baire, non ?
D'où tu tires cette terminologie ? C'est plutot trompeur, je trouve
D'ailleurs, je pense qu'on peut trouver des contre-exemples à ceci avec la définition que prenait Matthias, non ?
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rvz
Salut,
la terminologie est celle couramment employée. On la retrouve dans toute bonne preuve sur le sujet.
C'est effectivement une conséquence du théorème de Baire, et ce qui est intéressant de remarquer est que si f est une fonction dérivable sur R, alors gn toutes définies sur R par:
gn(x)=n[f(x+1/n)-f(x)] converge simplement vers f, notamment f est continue sur un G delta dense. Théorème de Darboux....
Avec la terminologie de Matthias, mon énoncé est clairement faux, il suffit de ramener l'exemple classique de x^n à un exemple où la singularité est en plein milieu de notre intervalle.
Par exemple
fn(x)=x^n si 0<x<=1
fn(x)=le symétrique sur 1<=x<2
le pic va apparaitre en x=1, et clairement sur tout compact qui contient 1 ca ne marchera pas.
A+
Ah oui évidemment, j'aurais du réfléchir avant de poster
Au fait, tu veux bien me rappeler comment on démontre ton résultat avec le théorème de Baire ? (j'ai dit ça dans le post d'avant parce que c'est un vague souvenir de l'agreg, mais je ne sais plus comment le démontrer... )
Quels sont les ensembles à considérer ?
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rvz, qui perd la mémoire !
Grosso modo les ensembles sont ceux dont la distance d(fp(x),fq(x)) est inférieure à 1/k (ou une suite décroissante vers 0 en fonction de k, mais 1/k marche bien)
Ils sont fermés tu en fais l'union, tu te retrouves avec X au complet, tu appliques Baire, tu fais 2-3 fois ce genre de trucs et tu arrives à montrer qu'il existe toujours un ouvert non vide (corollaire de Baire) dense, tu réappliques le théorème et tu as le résultat.
Voici schématiquement l'idée.
Sur Wikipédia la preuve y est faite dans le cas réel:
Limite simple de Banach
Sinon j'ai un pdf sur le sujet.
A+
l'exemple de x^n sur [0,1] (qui est compact) suffit à montrer que la compacité de l'ensemble de départ n'entraîne pas la convergence uniforme. Il y a donc entre la convergence simple et la convergence uniforme, la convergence uniforme sur tout compact. Attention à la confusion avec la continuité uniforme qui elle, est assurée sur tout compact dès lors que la fonction est continue.
