forme linéaire et hyperplan

[invite02195890]

Bonjour,
Dans un théorème j'ai que le noyeau d'une forme linéaire u de E dans F forme un hyperplan de E, donc dim(Ker u) = n-1 mais c'est pas possible, enfin sinon le théorème du rang etc servent a rien ^^' j'arrive pas a voir ce qui m'échappe.

PS : dimE=n on travaille en dimension finie
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[ericcc]

La forme linéaire n'est pas un endomorphisme de E, mais une application de E dans IR, donc pas de problème avec le théorème du rang, au contraire.

[invite02195890]

J'ai pas bien saisi, d'accord ce n'est pas forcément un endomorphisme de E, mais je comprends toujours pas : la dimension du noyeau vaut n-1, on définit pourtant le théorème du rang pour les applications linéaires, donc ca veut bien dire que la dimension dun noyeau ne vaut pas toujours n-1 non ?

[ericcc]

Le théorème du rang dit dim(Ker)+rang=dimE, où E est l'espace de départ.
Ici rang=1 (dimension de IR) et dim E = n, d'où ta formule.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite02195890]

mais alors où est l'interet du théorème si le rang vaut toujours 1 la dimension du noyeau vaut toujours n-1...

[Thorin]

le theoreme du rang ne s'applique pas qu'aux formes lineraires

[invite02195890]

c'est pourtant ce que j'ai de marqué dans mon cours, et dans wikipédia je lis : "le théorème du rang de l'algèbre linéaire, lie le rang et la dimension du noyau d'une application linéaire", enfin d'accord pas qu'aux formes linéaires, mais ma question reste la meme, j'ai plutot des le départ confondu les 2 mots forme et application si c'est de ca dont tu voulais parler

[Garf]

Attention à ne pas confondre les objets. Si et sont deux espaces vectoriels réels de dimension finie, alors il y a une différence entre :
* une application linéaire de dans ;
* une forme linéaire sur .
En effet, une forme linéaire sur est, par définition, une application linéaire de dans .

Le théorème du rang dit que, pour toute application linéaire de dans , on a . On peut prendre , ce sera toujours valable.

Si on prend , alors l'application linéaire est aussi une forme linéaire, et on a toujours . En particulier, si est non nulle*, on a donc .


* Attention : une forme linéaire peut être nulle, auquel cas son noyau n'est pas un hyperplan (c'est l'espace tout entier) !

[invite02195890]

effectivement j'ai confondu les 2 termes sans preter attention à la différence ! merci pour cette explication, et ces précisions

[invite2bc7eda7]

Bonsoir

Bonjour,
Dans un théorème j'ai que le noyeau d'une forme linéaire u de E dans F forme un hyperplan de E, donc dim(Ker u) = n-1

Ceci n'est vrai que pour une forme linéaire non nulle.