Bonjour
J'aurais besoin de votre aide pour cet exercice de proba qui me pose quelques soucis
Merci d'avance
Un pion se déplace de manière aléatoire sur un damier de quatre cases A, B, C et D. Pour n E N, on considère les évènements suivants, définis sur un espace probabilisé (O,P (O), P) qui représentent la
position du pion aux instants successifs : An représentent l’évènement « le pion est sur la case A à l’instant
n », Bn représentent l’évènement « le pion est sur la case B à l’instant n », Cn représentent l’évènement « le
pion est sur la case C à l’instant n », Dn représentent l’évènement « le pion est sur la case D à l’instant n »,
Soit n E N. Les règles de déplacement du pion sont les suivantes :
– S’il est sur la case A à l’instant n, il est de façon équiprobable sur l’une des quatre cases à l’instant n+1.
– S’il est sur la case B à l’instant n, il est de façon équiprobable sur l’une des trois cases A, B ou C à l’instant n+1.
– S’il est sur la case C à l’instant n, il est de façon équiprobable sur l’une des trois cases A, B ou C à l’instant n+1.
– S’il est sur la case D à l’instant n, il y reste à l’instant n+1.
On note enfin pn = P(An), qn = P(Bn), rn = P(Cn) et sn = P(Dn).
On suppose enfin que le pion est sur la case 1 à l’instant n = 0, donc que p0 = 1, et q0 = r0 = s0 = 0.
1. Calculer p1, q1, r1, s1 puis p2, q2, r2, s2.
2. Pour tout entier n >= 0, exprimer pn+1, qn+1 et rn+1 en fonction de pn, qn et rn. En déduire, pour n >= 1, l’expression de pn, qn et rn en fonction de n, puis celle de sn.
Indication : On pourra montrer que, pour n >= 1, pn = qn = rn.
3. a) Calculer, pour n >= 1, la probabilité P(Dn inter (Dn−1)(barre)).
b) Déterminer, pour n >= 1, la probabilité pour que le pion passe sur la case D pour la première fois à l’instant n.
4. a) Soit n E N*. Calculer la probabilité pour que le pion reste sur la case A entre les instants 0 et n−1 puis
se retrouve sur la case D à l’instant n.
b) Quelle est la probabilité pour que le pion reste sur les cases B et C entre entre les instants 1 et n sans
repasser par la case A ?
5. Déterminer la probabilité pour que le pion se soit trouvé sur la case A à l’instant n = 1 sachant qu’il est sur la case D à l’instant n = 2.
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