Relation réflexive et circulaire

[invited927d23c]

Bonjour,

J'ai réussi très simplement à montrer qu'une relation d'équvalence est circulaire.

Mais maintenant on me demande de démontrer qu'une relation binaire réfléxive et circulaire est symétrique et transitive. J'ai beau chercher, et me faire de petit schéma, mais je ne vois pas en quoi la circularitée et réfléxivitée d'une relation binaire implique sa symétrie et sa transitivitée .
Surtout que je ne vois pas l'utilitée de la réfléxitivitée pour montrer qu'elle est symétrique et transitive?

Merci pour toutes indications qui me permettra de trouver la solution.
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[invited927d23c]

Je me permet de redemander si quelqu'un à une idée, car moi j'en ai toujours pas. J'ai trouvé un moyen mais je crois que c'est en trichant un peu. Est je vois toujours pas l'utilitée de la réfléxivitée.

[GuYem]

Salut!

Je voudrais bien t'aider mais une relation binaire circulaire je ne sais pas ce que c'est

[invited927d23c]

Une relation circulaire c'est presque comme la transitivitée :

Circularitée: aRb et bRc alors cRa

Au détails près que c'est pas aRc mais cRa, dans un schéma saggital ça donne une boucle fermée entre a,b et c (avec les fléches tous dans le même sens), surement l'origine du nom.

Merci pour ton aide

[A voir en vidéo sur Futura]

[GuYem]

Oh ce truc tordu!
Jamais vu ça ^^

Bon alors prends R reflexive et circulaire.

Pour la symétrie : prend a et b avec aRb. Puisqu'elle est reflexive, on a aRa. Du coup comme on a aRa et aRb on a bRa par circularité, d'où la symétrie.

Pour la transitivité : prend a,b et c avec aRb et bRc. Par symétrie on a aussi cRb et bRa et du coup par circularité on a donc aRc.

La moralité de l'histoire c'est que tu ferais mieux de l'écrire au lieu de le lire, tu y verras plus clair

[invite14ea0d5b]

Si R est circulaire et transitive...
indice : aRa aRb => symétrique

edit: coiffé par GuYem ^^

[GuYem]

Tiens j'en profite pour donner ici une démo (fausse bien sur) du fait qu'une relation binaire (sur un ensemble qui a plus de deux éléments) qui est symétrique et transitive est forcément reflexive.
Cela voudrait dire qu'on n'aurait pas besoin de tester la refléxivité pour montrer qu'une relation est une relation d'équivalence.

A vous de trouver l'erreur :

Soit donc R symétrique et transitive et a dans l'ensemble, on va montrer que aRa. Puisque aRb implique que bRa par symétrie, et puisqu'on a la transitivité on en déduit que aRa.

[invited927d23c]

Merci GuYem et Korgox. Maintenant que vous le dites ca me parait tous clair. J'avais ecrit la circularite et la symetrie/reflexivitee, mais j'arrivais pas a voir comment on pouvait arriver a demontrer la symetrie/transitivitee. Maintenant je me demande comment je fesais pour pas voir .


Dans ta demo de la reflexivitee, la seul erreur aue je vois, c'est qu'il suffit qu'il y ait un a qui n'est en relation avec aucun b et on arrivera pas à dire que aRa. Mais je dois surement etre a cote de la plaque?

[GuYem]

Dans ta demo de la reflexivitee, la seul erreur aue je vois, c'est qu'il suffit qu'il y ait un a qui n'est en relation avec aucun b et on arrivera pas à dire que aRa. Mais je dois surement etre a cote de la plaque?

T'es pas du tout à coté de la plaque, t'es en plein dessus

En effet si il n'y a pas de b tel que aRb alors on ne peut pas conclure et rien ne dit qu'un tel b existe

[kaya31]

Tiens j'en profite pour donner ici une démo (fausse bien sur) du fait qu'une relation binaire (sur un ensemble qui a plus de deux éléments) qui est symétrique et transitive est forcément reflexive.
Cela voudrait dire qu'on n'aurait pas besoin de tester la refléxivité pour montrer qu'une relation est une relation d'équivalence.

A vous de trouver l'erreur :

Soit donc R symétrique et transitive et a dans l'ensemble, on va montrer que aRa. Puisque aRb implique que bRa par symétrie, et puisqu'on a la transitivité on en déduit que aRa.

La démonstration suppose l'existence de b tel que aRb. C'est là qu'est l'erreur. Rien ne prouve que a est nécessairement en relation avec un autre élément...