Polynome et endomorphisme

[mimo13]

Salut,

Connait-on exactement la dimension de lorsque un espace vectoriel de dimension finie et ?

En essayant les projecteurs, les symétries, les endomorphismes nilpotents...je tombe sur des résultats très divers...

Merci à vous
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[God's Breath]

La dimension est p-1, p étant le degré du polynôme minimal de u.

[blablatitude]

et bien K[X] c'est les polynômes de dégré infini non ?

alors pour moi K[u] a un degré infini.

Non ???

[silk78]

Attention blablatitude, ici on ne parle pas de degré de polynôme mais de la dimension d'un ensemble formé par les "polynômes" d'une application linéaire u.
Et comme l'as dit God Breath, cette dimension est bien finie et vaut p-1 où p est le degré du polynôme annulateur minimal de u.

D'ailleurs il me semble même que la notion de degré n'a de sens que pour l'expression formelle du polynôme (soit pour un élément de R[X] mais pas pour un de R[u]) ou peut-être à la rigueur aussi pour une fonction polynomiale sur R ou C.

Silk

[A voir en vidéo sur Futura]

[mimo13]

La dimension est p-1, p étant le degré du polynôme minimal de u.

C'est bien ce que je me disait.

Suffit de considérer l'isomorphisme : qui à tout polynôme associe l'endomorphisme .

Merci

[invite74d6d3ec]

La dimension est p-1, p étant le degré du polynôme minimal de u.

Ce ne serait pas plutôt .
Prenons le cas où est un projecteur, de polynôme minimal , qui est de dimension 2. Quelque chose doit m'échapper....

[God's Breath]

Effectivement, c'est p, je ne sais pas compter : une base est (u⁰,...,u^^p-1)[/tex], ce qui fait bien p éléments.

[blablatitude]

Woupla désolé je suis fatigué !

[mimo13]

Ce ne serait pas plutôt .

Au temps pour moi.