racine cubique complexe

[invitee43ff1c2]

bonjour à tous j'ai un QCM dans lequel une question traite des racines cubiques complexes de -2

comment les trouver ?

merci à tous
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[Seirios]

Bonjour,

Tu peux écrire que équivaut, en posant , à . Cela devrait t'aider.

[invitee43ff1c2]

je ne vois vraiment pas la suite ...

l'une des réponse est que les solutions forment un triangle équilatéral...

mais je veux comprendre comment les trouver...

peux-tu m'expliquer la suite s'il te plait ?

[breukin]

Que vaut ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee43ff1c2]

bin a^{^3}e^i3a non ?

[Seirios]

Dans l'écriture , r est unique et est unique modulo .

[ericcc]

Soit j le nombre tel que j^3=1. Supposons que l'on ait trouvé un nombre complexe A tel que A^3=-2, que peut on dire de jA ? et de j²A ?
Combien de solutions l'équation Z^3+2=0 a t elle dans C ?

[invitee43ff1c2]

on a j=1 non ?

donc jA=A et j²A= A
faut-il utiliser les racines n-iemes de l'unité ?

je comprends absolument rien ...

[Seirios]

Dans le raisonnement d'ericcc, il faut raisonner avec j quelconque.

[ansset]

reprends l'analyse de Serios.
le module est tj le même donc les solutions se retrouvent dans un même cercle .
pour l'angle tu as
3*theta =pi+2Kpi , in finé tu n'obtiens que trois angles.

[ericcc]

on a j=1 non ?

Dans C on a 3 nombres tels que j^3=1 ....

[invitee43ff1c2]

je suis désolé mais je comprend vraiment pas le raisonnement là....

[ericcc]

soit le j le nombre exp(2iPI/3), il est solution de j^3=1, de même que j² et 1. Si tu places ces points sur un cercle unité, ils forment un triangle équilatéral. Multiplier un nombre complexe par j revient à lui faire subir une rotation d'angle 2pi/3

Donc si tu as une solution A de l'équation z^3=-2, jA et j²A sont les autres solutions. Elles forment un triangle équilatéral puisque multiplier par j c'est faire une rotation de 2pi/3.

[breukin]

Je reviens à ma mise en piste.
Si
Que faut-il et que suffit-il pour que ?
Que et que

[invitee43ff1c2]

on trouve donc a=pi/3 +2kpi

....mais je ne vois vraiment pas la suite..
sur tous les sujets antérieur il y a une question comme ça..et c'est la seule chose qui me pose réellement problème

serait-il possible d'avoir le raisonnement entier ?
j'ai encore un autre exemple à essayer quand je saurais comment procéder ...

[invitee43ff1c2]

nous aurions donc z³=2e^{ipi +2kpi} ?

[invitee43ff1c2]

je trouve donc en calculant

2e^{i pi/3};2e^{i pi};2e^{i 5/3 pi}

mais ça ne doit pas être ça ...

[breukin]

Mais où diable se situe votre blocage ?
Il n'y a pas de "comment procéder", la réponse est sous vos yeux, et d'ailleurs, vous y êtes presque dans votre dernier message, hormis une étourderie.

Je reviens à ma mise en piste.
Si
Que faut-il et que suffit-il pour que ?
Que et que

Donc que et
Donc les racines cubiques de sont :

[invitee43ff1c2]

en appliquant la même méthode je trouve pour les racines cubiques de 1+i


2^1/4e^{3i pi/4}
2^1/4e^{i17/12 pi}
2^1/4e^{i25/12 pi}


c'est cela ?

[breukin]

Non, mais presque.
Il faut être assez mécanique.
On a
Donc les racines cubiques sont :




Vous étiez donc juste pour les arguments, car 25/12=2+1/12, donc on peut simplifier 25/12 par 1/12, et vous avez fait la même étourderie que précédemment sur le module.

[invitee43ff1c2]

merci beaucoup je crois que j'ai compris

pourriez vous me redonnez un exemple que je puisse voir si j'ai bien compris ? (un exercice)

je vous remercie beaucoup