Concernant les matrices

[Chi-Hak]

Bonjour,

J'ai quelques questions de bases qui me posent problèmes. Les cours théoriques que je trouve ne sont pas toujours compréhensible pour moi malheureusement.

1. Dans R3, pour que trois vecteurs puissent être considérer comme une base, il faut que ces trois vecteurs soient libres ? Est ce une condition nécessaire et suffisante ?

2. Est ce que une base est forcément une famille génératrice ?

3. Quelle condition y a-t-il pour qu'une famille soit génératrice ? Qu'est ce que je dois faire, étape par étape, pour vérifier que cette famille est génératrice ?

4. Est ce que les ensembles définis par {Ker(f), f étant une application linéaire} sont toujours des sous espaces vectoriels ?

5. Si une matrice est injective, alors chaque image de la transformation par cette matrice admet un unique antécédent dans l'espace de départ ?

Merci d'avance pour vos réponses.
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[Crossfire]

Bonjour,

1. Oui; une base est une famille libre maximale (c'est aussi une famille génératrice minimale).

2. Par définition, une base est une famille libre et génératrice.

3. Revois la définition de ton cours (celle où le mot combinaison linéaire apparaît).

4. Normalement, tu dois savoir que le noyau d'une application linéaire est un sous-espace vectoriel de ton espace de départ (montres-le si ça ne figure pas dans ton cours, ce n'est pas difficile).

5. N'a pas de sens. Relis la définition d'injectivité pour les applications.