[Combinatoire] Propriété d'un coefficient binomiale

[Bleyblue]

Bonjour,

J'ai pris note la dernière fois que j'ai été aux séance d'exercices de la preuve ensembliste du fait que :

. =

mais je pense que j'étais à côté de la plaque parce qu'en relisant mes notes je me rend compte que ce qui est écrit est faux

J'ai dessiné un ensemble (une patate) de cardinal 2n divisé en deux sous ensemble égaux de cardinaux n.

Et ensuite j'ai noté :

= .

=

-> "on choisit k éléments dans le sous ensembles et n - k dans le second sous ensemble donc ça revient à en prendre n dans le grand ensemble à 2n éléments"

mais cette phrase visiblement fausse car c'est la somme des coefficients binomiaux de 0 à n qui vaut ceci.

Auriez vous une idée sur la manière dont je pourrais rectifier le tire ?

merci
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[GuYem]

Euh je suis assez d'accord avec l'interprétation donnée par cette phrase..

Je te la réécris si tu veux :
Prendre n éléments parmi 2n (ce qui correspond à C(2n,n)) ça revient à :
1) choisir un k entre 0 et n
2) choisir k éléments dans le premier sous ensemble à n éléments (C(n,k))
3) choisir n-k éléments dans le deuxième sous ensemble à n éléments (C(n,n-k))

Ca te va comme cela?

[Bleyblue]

Oui mais alors je ne comprend pas pourquoi on n'a plus de somme ? Normalement c'est la somme des coefficients de 0 à n qui vaut C(2n,n) ...

merci

[GuYem]

Tu fais une petite confusion. C(2n,n) c'est le nombre de façon de choisir n éléments dans un ensemble à 2n. C'est le membre de droite.

Ensuite les trois points que j'ai décrit permettent de choisir n éléments parmi 2n en en choisissant k dans le premier sous ensemble à n éléments (noté A), et donc n-k dans le deuxième sous-ensemble à n éléments (noté B).
C'est pour cela qu'il faut ensuite sommer sur k ; choisir n éléments c'est :
En choisir 0 dans A et n dans B
ou bien : 1 dans A et n-1 dans B
ou bien : 2 dans A et n-2 dans B
ou bien : 3 dans A et n-3 dans B
etc jusqu'à
n dans A et 0 dans B.

J'espère avoir été clair.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

J'espère avoir été clair.

Oui tout à fait.
Je n'avais de nouveau pas pensé a ça...

merci beaucoup

[Astro-77]

comment on démontre que Cn,k = Cn,n-k !! d'une facon combinatoire

[gg0]

Très facilement :

Choisir k éléments, c'est rejeter n-k éléments, donc choisir les n-k à rejeter.

Cordialement.

NB : Un peu de politesse dans la question ne t'aurait pas coûté beaucoup !!!