Moyenne de série convergente

[silk78]

Bonjour,

Je suis en train de travailler ce problème. A la question II.3.d), je peux me tromper mais j'ai l'impression que l'on peut même donner la limite de f(x) lorsque x tend vers 1 : la limite σ de la suite des moyennes (σ_n) (qui existe car S est dans C).

J'ai même l'impression de l'avoir démontré mais je doute un peu sur un point de ma démonstration (et je suis étonné que si la limite est bien σ, on ne nous demande pas de le prouver). Je vois pas trop où serait le problème mais je demande quand même, si quelqu'un a le courage de vérifier ce que j'ai fait. Voilà mon raisonnement :

Remarquons d'abord qu'en différenciant la série géométrique, on obtient :



Comme on considère la limite en 1, je ne considère que des x positifs. D'après la question 3.c) et (1), on a :



Soit ε>0. Comme (σ_n) converge vers σ :


Ré-exprimons f(x)-σ :


Par l'inégalité triangulaire et (3), on a :



x et ε sont positifs, donc pour tout n entre 0 et N-1, (n+1)εxⁿ/2 est positif, d'où :



Soit en reconnaissant (1) :


est une fonction polynomiale de racine 1. Par continuité, on a donc

On a donc :


D'après (4), on a donc :


Conclusion :



Donc, on a bien que f(x) tend vers σ lorsque x tend vers 1 par la gauche.


Voilà, merci à ceux qui auront lu jusque là. Ce qui m'étonne, c'est que l'un des ε/2 que j'utilise ne vient pas de la convergence d'une fonction lorsque x tend vers 1, mais vient de la convergence d'une suite. Pourtant il sert à prouver la converge d'une fonction.
Est-ce cohérent ?

Merci d'avance pour vos réponses,
Silk
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[Tiky]

Bonsoir,

J'ai pris le temps de faire les questions précédentes afin de mieux comprendre l'exercice.

J'ai lu attentivement votre démonstration et je ne vois pas de faute.

En revanche en faisant les questions sur les convergences des séries entières, j'ai été étonné par la simplicité de la solution (si celle-ci est juste). Pour ma part je n'ai eu besoin pratiquement que tu fais que était bornée.

Par exemple pour montrer que converge simplement sur , j'ai utilisé le fait que . Et pour , le fait que

[silk78]

Bonjour,

Merci beaucoup d'avoir relu ma démonstration. Le epsilon venant d'une limite de suite n'est donc pas incohérent avec la limite d'une fonction ? Est-ce courant dans une démonstration ?

Pour la convergence des séries entières : j'ai fait exactement pareil pour s_k puis a_k, en partant de la convergence des (k+1)σ_k.
Sinon, je ne m'étais pas posé la question mais il semblerait effectivement qu'avoir (σ_n) bornée suffise pour la convergence de la première série et donc des deux autres.
C'est un résultat assez puissant je trouve, et je suis d'accord étonnement simple à démontrer.

Merci encore,
Silk

[Tiky]

Bonjour,

Je confirme définitivement ta méthode. Je me souviens l'avoir employer pendant un examen et avoir eu confirmation que c'était ce qu'il fallait faire. Certes, ce n'était pas la même série, mais comme ici, j'avais découpé la somme en deux et une simplification miraculeuse par (1-x)^2 permettait de tout arranger sur le second terme.

Regarde le dernier exercice de la feuille, il a l'air sympathique.
Bonne continuation.

[A voir en vidéo sur Futura]

[silk78]

Bien. Merci