Convergence simple

[invitea87a1dd7]

Bonjour à tous Voilà, Je bloque sur la dernière question du problème (encore des problèmes de typage ).
Dans ce problème, X est une partie non vide de . On suppose que E est un serv de (fonctions de X dans )
Voici les questions que j'ai déja démontrées :
1-Si () est une famille libre d'éléments de E alors il existe une famille ( ) d'éléments de X telle que la matrice ( soit inversible
2- En déduire que E* (dual de E) admet une base de la forme () où pour tout est la fonction de E dans qui à f associe
3- Montrer que N définie sur E par N(f) = est une norme.

Et la fameuse question :

4- On suppose que est une suite de polynômes de degré strictement inférieur à n telle que pour tout x de [0,1], soit une suite de réelle convergente.
Montrer que la fonction qui à x associe la limite de lorsque p tend vers l'infini, est une fonction polynomiale de degré strictement inférieur à n.

Voilà, j'arrive pas à faire le raccord avec les questions d'avant. Je vois bien que la limite est un réel dépendant de x, comme la suite est une suite de poly de degré stric. inférieur à n, alors la limite aussi, mais comment montrer que c'est une fonction polynomiale ?

Merci de m'éclairer
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[invitea87a1dd7]

ps : doit y avoir des suites de cauchy derrière tout ça....

[martini_bird]

Salut,

il suffit de démontrer que l'espace vectoriel E des fonctions polynômiales de degré strictement inférieur à n est complet pour la norme N (et donc en particulier prouver le critère de Cauchy pour cet espace ).

Cordialement.

[invitea87a1dd7]

"Complet pour la norme N"
Euh, c'est à dire, je n'ai pas (encore) vu cette définition..ou alors sous un autre nom..
Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[GuYem]

Complet ca veut dire que toute suite de Cauchy est convergente.

Complet pour la norme N ca veut dire que toute suite de Cauchy pour la norme N est convergente pour la norme N.

[invitea87a1dd7]

Merci bien

[martini_bird]

Complet ca veut dire que toute suite de Cauchy est convergente.

Et surtout que la limite est dans l'espace considéré.

Tu peux déjà vérifier sans peine que la suite est de Cauchy.

Ensuite, j'aurais démontrer que E est compact (et donc complet), mais tu n'as pas l'air de connaître ce théorème.

Je vais chercher.

[invitea87a1dd7]

Je pense pas qu'on ait le droit d'utiliser le truc avec le mot compact effectivement lol
Sinon j'ai un doute pour la question 2.
Voici ce que j'ai fait :
J'ai pris une base de E :
C'est une famille libre, donc d'après la question 1, la matrice correspondante est inversible, et je constate que cette même matrice devient :



Peut-on conclure quant au fait que la famille est une base (car libre, cardinal n, dans E* de dim=n) ?
Merci

[invitea87a1dd7]

Bon alors, pour la question 2, je vois pas où est l'erreur...
Sinon pour la question 4, dites moi si ce raisonnement vaut (lisez ce qui précède pour comprendre):
Comme la suite réelle est convergente, alors la série de terme général est convergente. Donc elle de cauchy. En la réécrivant, j'obtiens P_{p+q+1}(x) - P_{p}(x) aussi petit que l'on veut. Et cela pour tout x de [0,1] et à partir d'un certain rang.
En faisant la somme de ces termes , par exemple contenant n termes, on obtient le critère de cauchy de la suite de polynôme. Or on est en dimension finie n, donc si c'est de cauchy, c'est convergent, donc la suite de polnômes converge, et donc sa limite devrait normalement être la fonction x -> lim P_{p](x) lorsque p tend vers l'infini, non ?
Bon je sais pas si vous avez suivi, parce que sans les quantificateurs, c'est pas simple du tout...
En fait la difficulté, c'est comment montrer que la limite appartient à l'ensemble E (ensemble des poly de degré stric. inférieur à n, donc de dimension n)

...

[martini_bird]

Salut,

pour la 2, tu peux délayer un peu: si la famille duale n'était pas libre (i.e. il existe une combinaison linéaire nulle non-triviale), on aurait une contradiction avec le fait que la matrice est inversible.

Pour la 4, je rédigerais proprement à l'envers: soit q un entier et epsilon un réel positif, montrons qu'il existe un rang N tel que pour tout p>N, alors N(P_p+q-P_p)<epsilon, etc.

Or on est en dimension finie n, donc si c'est de cauchy, c'est convergent

Il est là, l'argument de complétude de E.

Cordialement.

[invitea87a1dd7]

Oui ok pour l'argument de complétude, car la suite du problème traite d'une suite de cauchy de fonctions lipschitziennes, et donc l'espace n'est plus finie, ce qui rend le truc plus dur (les questions posées sont à peu près les mêmes) !
Sinon pour la question 2, j'ai pas très bien compris ton raisonnement ; est-ce bien ça :
-on doit montrer l'existence d'une base, donc je dis je prend une famille quelconque (avec les phi).
-si ce n'est pas une base, alors ce n'est pas libre. Je vois bien qu'il faut faire un lien avec la matrice, mais le problème, c'est que la matrice représente quoi par rapport à cette famille ? J'arrive pas trop à voir là...

Merci

[invitea87a1dd7]

Aucun rapport, mais a-t-on le droit de dire que pour une fonction f et pour tout réel positif :
sup ( f(x) ) = sup ( f(x) ) ?

Merci.

[martini_bird]

Salut,

pour la question 2, si tu avais , ceci voudrait précisément dire que la matrice des n'est pas inversible, en contradicion avec le 1.

Aucun rapport, mais a-t-on le droit de dire que pour une fonction f et pour tout réel positif :
sup ( f(x) ) = sup ( f(x) ) ?

Merci.

Oui, le sup ne dépendant que de x.
En écrivant l'ensemble duquel on considère la borne supérieure , ce genre d'interrogation n'a pas lieu.

Cordialement.

[invitea87a1dd7]

Pour la 2, ok, mais moi j'ai utilisé en plus l'argument que était une base et donc tout fonction f s'écrit en fonction des ...

Pour la borne sup, je me disais bien qu'il y avait un truc avec la dépendance suivant x, mais j'aimerais une démonstration véritable. Je sais qu'il y a une inégalité facile à montrer, mais l'autre j'y arrive pas... C'est juste pour savoir comment faire

Merci

[Quinto]

Voilà, j'arrive pas à faire le raccord avec les questions d'avant. Je vois bien que la limite est un réel dépendant de x, comme la suite est une suite de poly de degré stric. inférieur à n, alors la limite aussi, mais comment montrer que c'est une fonction polynomiale ?

Il suffit de montrer que ton espace est complet pour la norme N.
En fait, ici tu ne considères plus l'ensemble des polynômes, mais l'ensemble des fonctions polynômiales sur K=[0,1] de degré inférieur à n, muni de la norme N définie par N(f)=sup(|f|) sur K.

En fait ce n'est pas tellement compliqué, parce que si tu as un espace de dimension d<+oo, la convergence d'une suite revient à la convergence coordonnée par coordonnées.
Ici on est précisement dans le cas d'un espace de dimension finie sur R.
A+

[invite2ec8adb6]

Aucun rapport, mais a-t-on le droit de dire que pour une fonction f et pour tout réel positif :
sup ( f(x) ) = sup ( f(x) ) ?

Merci.

je sais qu'on a le droit de dire
sup(abs(a*f(x)))=abs(a)*sup(ab s(f(x))) où abs est la valeur absolue
x E X x E X
car sup(abs(...)) est une norme, mais sup n'est pas forcément une norme(car pas toujours positive) donc en fait tu dois le vérifier à la main (ça doit assez bien marcher)

[invitea87a1dd7]

Quinto >> Ok, mais j'ai pas le droit d'utiliser le mot complet Ca doit se faire d'une autre manière (moins rapide, mais plus détaillée). Bon sinon, si j'arrive à montrer que la suite de polynômes converge (c'est fait, voir les post plus haut), comment je montre que la limite est forcément la fonction polynomiale en question, à savoir : x - > lim lorsque p tend vers l'infini. N'est pas parce que la limite d'une suite appartient à l'espace où est chaque terme de la suite, et comme on confond polynome et fct° polynomiale dans ce cas...?

Greyplayer > Si c'est ça, c'est bon, mais j'aimerais savoir le démontrer proprement

Merci à tous

[invitea87a1dd7]

En fait, ici tu ne considères plus l'ensemble des polynômes, mais l'ensemble des fonctions polynômiales sur K=[0,1] de degré inférieur à n, muni de la norme N définie par N(f)=sup(|f|) sur K.

Euh pourquoi muni de la norme N définie par N(f) = sup ( |f| ) ??

[invitea87a1dd7]

Bon voici mon raisonnement, dites moi si ca tient la route (notammment le passage de l'avant-dernier au dernier point) :
- est une suite de polynomes de degré strictement inférieur à n telle que pour tout x de [0,1], la suite réelle converge.
- Si la suite réelle converge, j'arrive à montrer (après pas mal de ligne qui sont trop longue à réécrire ici ) que est de cauchy.
- On est en dimension finie (en effet l'ensemble des polynômes de degré strictement inférieur à n est de dimension n), donc si est de cauchy, alors ça converge
- Donc la suite des fonctions polynomiales définies sur [0,1] associées (donc de degré strictement inférieur à n) converge également, et sa limite appartient à l'ensemble des fonctions polynomiales de degré strictement inférieur à n. Or sa limite ce n'est rien d'autre que la fonction x - > lim lorsque p tend vers l'infini et pour tout x de [0,1].