DM maths .... quelques petits soucis

[invite52564811]

bonjour !!

alors voila j'ai un DM de maths sur les suites ...
on a (Un) def par Uo = 0 et Un+1 = racine carrée(Un+6)

on a précédemment prouvé que :
0< Un < Un+1 < 3 (< : inférieur ou égal)

ms ensuite j'ai pb, il faut montrer que :
0< 3-Un+1 < 1/3 (3-Un) (pr 0< 3-Un+1) c bn ms pr l'autre partie je trouve pas...

pareil là je ne trouve nn plus, il faut montrer que :
0< 3-Un < 1/(3^(n-1) (pareil, pr la première inegalité c bn : 0< 3-Un) ms après .... je nage


si vous pouviez m'éclairer ou me sauver de ma noyade ... merci d'avance !
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[invitea87a1dd7]

Peut être par récurrence

[Jeanpaul]

bonjour !!

alors voila j'ai un DM de maths sur les suites ...
on a (Un) def par Uo = 0 et Un+1 = racine carrée(Un+6)

on a précédemment prouvé que :
0< Un < Un+1 < 3 (< : inférieur ou égal)

ms ensuite j'ai pb, il faut montrer que :
0< 3-Un+1 < 1/3 (3-Un) (pr 0< 3-Un+1) c bn ms pr l'autre partie je trouve pas...

pareil là je ne trouve nn plus, il faut montrer que :
0< 3-Un < 1/(3^(n-1) (pareil, pr la première inegalité c bn : 0< 3-Un) ms après .... je nage

Commence par tracer les courbes y = racine(x + 6) et y =x. Ca te montrera ce qui se passe.
Pour la 2ème égalité, en remplaçant Un+1 par sa valeur, tu trouves tout de suite que c'est 2 façons d'écrire que Un+1 < 3
Pour la 3ème, considère une suite annexe Vn = 3 - Un et tu trouves que Vn+1 < 1/3 Vn (la seconde égalité !).
En fait, l'exo te guide très fort.

[invite52564811]

oui ok !! mais par récurrence je ne vois pas comment faire, de quoi partir ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

oui ok !! mais par récurrence je ne vois pas comment faire, de quoi partir ...

Même pas besoin de récurrence ! Que vaut V0 ? Que donne l'inégalité pour V1 ? et V2 ? De proche en proche, on y arrive.
Dans ce genre d'exo, on est souvent bien inspiré d'écrire les premiers termes.

[invite52564811]

oui ms ça, ça marche pas en TS !! il faut le faire par récurrence, j'avoue que c'est bien plus facile de proche en proche ms c pas le but !
als ... qqn peut m'aider ?

[Jeanpaul]

Alors, va pour la récurrence : tu as démontré au début que (en posant Vn = 3 - Un) :
V(n+1) < 1/3 Vn
et que
V0 = 3
Si tu admets que
Vn < 1/3^n-1
Tu devrais trouver que :
V(n+1) < 1/3 Vn < 1/3 * 1/3^(n-1)
et le dernier truc c'est évidemment 1/3^n
Ca devrait faire l'affaire, non ?