Dérivée non continue.

[Linkounet]

Bonjour, je ne comprends pas comment la dérivée d'une fonction peut ne pas être continue. Prenons par exemple une fonction f, dérivable en x0 de dérivée égale à 2, mais dont la dérivée n'est pas continue en x0. Pour l'exemple toujours disons qu'elle "saute" à 2.5 (donc pour x > x0, f'(x) > 2.5) et qu'elle est croissante.

Soit epsilon = 0.1 :
Il existe un intervalle centrée en x0 où les accroissement sont compris entre 1.9 et 2.10, car la dérivée en x0 est égale à 2.

Soit un élément de cet intervalle situé après x0, sa dérivée est donc supérieur à 2.5, donc il existe un intervalle centrée autour de cet élément où les accroissement sont compris entre 2.4 et 2.6, mais comme cet intervalle est contenue dans le premier, les accroissement devraient être compris entre 1.9 et 2.10, c'est contradictoire !

Où est le problème dans ce raisonnement ?
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[invite986312212]

sur un intervalle de largeur 0.1 et avec une dérivée égale à 2, l'ordre de grandeur de l'accroissement de la fonction est plutôt 0.2 que compris entre 1.9 et 2.1 (ou bien je n'ai rien compris).

[Linkounet]

l'accroissement est égale à 2 plus ou moins 0.1, d'après la définition de la dérivée. donc vaut au moins 1.9 et au plus 2.1

[GrisBleu]

Salut

Un exemple: http://tanopah.jo.free.fr/ADS/bloc4/deriveP.html
++

[A voir en vidéo sur Futura]

[Linkounet]

J'ai regardé l'exemple, bien que j'ai tout compris, celà contredit toujours la définition de la continuité et de la dérivation !

Pour reprendre l'exemple donné, la dérivée vaut 0 en 0, donc il existe un intervalle ]-t,t[ où les taux d'accroissement ne dépassent pas 0.1 plus ou moins 0.01 (i.e pour tous éléments a et b de cet intervalle, (f(b)-f(a))/(b-a) est compris entre 0.09 et 0.11). Mais vu l'expression de la dérivée, il existe un point appartenant à cet intervalle dont la dérivée vaut 0.9. Et donc il existe un intervalle ]-s,s[ où les taux d'accroissement sont compris à la fois entre 0.8 et 1 et entre 0.09 et 0.11, ce qui est absurde !

[Amanuensis]

Bonjour, je ne comprends pas comment la dérivée d'une fonction peut ne pas être continue. Prenons par exemple une fonction f, dérivable en x0 de dérivée égale à 2, mais dont la dérivée n'est pas continue en x0. Pour l'exemple toujours disons qu'elle "saute" à 2.5 (donc pour x > x0, f'(x) > 2.5) et qu'elle est croissante.

L'hypothèse croissante est trop forte. Le contre-exemple n'est pas avec une dérivée croissante : elle oscille autour de 0.

[God's Breath]

Pour reprendre l'exemple donné, la dérivée vaut 0 en 0, donc il existe un intervalle ]-t,t[ où les taux d'accroissement ne dépassent pas 0.1 plus ou moins 0.01 (i.e pour tous éléments a et b de cet intervalle, (f(b)-f(a))/(b-a) est compris entre 0.09 et 0.11).

La dérivée en est la limite en 0 de : sur un intervalle ]-t,t[, seuls les taux de variation de ce type seront majorés.

Mais vu l'expression de la dérivée, il existe un point appartenant à cet intervalle dont la dérivée vaut 0.9. Et donc il existe un intervalle ]-s,s[ où les taux d'accroissement sont compris à la fois entre 0.8 et 1 et entre 0.09 et 0.11, ce qui est absurde !

Il n'y a donc aucune contradiction avec l'existence de taux de variations , avec a non nul, qui aient des valeurs immenses.