Récréations mathématiques autour des réels

**anthony_unac** · 27/09/2011, 18h42

Bonjour,

Prenons un réel mettons $\text{[math]}$ et intéressons nous à ses décimales :
$\text{[math]}$

Réécrivons ces décimales en utilisant le fait que chaque décimale *appelle* une autre décimale :
$\text{[math]}$ appelle la 4e décimale à savoir $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ appelle la 1ere décimale à savoir $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ appelle la 42e décimale à savoir $\text{[math]}$
(et oui car 4 à déja était appelé donc on prend l'entier composé par deux décimales)
$\text{[math]}$ appelle la 13e décimale à savoir $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ appelle la 5e décimale à savoir $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ appelle la 6e décimale à savoir $\text{[math]}$
....
On aboutit au final à la création d'un réel dont les décimales sont :
$\text{[math]}$

Questions :
*********
1/ Existe t il des gens qui se sont intéressés à ce type de transformation ?
2/ Pensez vous qu'on puisse en déduire des propriétés ?
Je pensais notamment aux invariances (cf nombre de Champernowne)
Je pensais également à des réels qui au fil des transformations deviendraient invariants.

Cordialement
Anthony

**anthony_unac** · 28/09/2011, 16h07

Re,

Peut être n'ai je pas écrit sur le bon forum (mathématiques du supérieur).
Médiat peut il me réorienter vers un forum plus approprié pour ce type de discussion (récréations mathématiques)?

Cordialement
Anthony

**Médiat** · 28/09/2011, 16h59

Bonjour,

Je veux bien le mettre où vous voulez, mais si le mode est ludique, les démonstrations pour trouver des cycles doivent être très difficiles (pour les invariants, je ne serais pas surpris que le seul soit la constante de Champernowne (dans toutes les bases)

invite986312212 · 28/09/2011, 16h59

bonjour,

je ne connais pas cette transformation, mais si tu t'intéresses à ce genre de "récréations" je ne peux que te conseiller le livre de Richard K Guy "unsolved problems in number theory" qui contient quelques problèmes un peu dans ce style (et qui est abordable sans connaissances très pointues). Je vois qu'il se trouve sur google books.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**anthony_unac** · 28/09/2011, 17h24

Envoyé par Médiat

Bonjour,
(pour les invariants, je ne serais pas surpris que le seul soit la constante de Champernowne (dans toutes les bases)

En fait il y en a une infinité de nombres réels invariants avec ce type de transformation :
****************************** ****************************** *********
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
etc ...
mais aussi (plus subtil) :
*******************
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
etc ...
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
etc ...
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
etc etc etc ....

Qu'entendez vous par base ?

**anthony_unac** · 28/09/2011, 17h27

Envoyé par ambrosio

bonjour,

je ne peux que te conseiller le livre de Richard K Guy "unsolved problems in number theory" qui contient quelques problèmes un peu dans ce style (et qui est abordable sans connaissances très pointues).

Merci pour l'info peut être que ce Richard K Guy s'est intéressé précisément à ce type de transformation.

**Médiat** · 28/09/2011, 17h27

Effectivement, je me suis fait avoir, car je pensais qu'il fallait que le premier nombre génère entièrement le deuxième.

Par base, je parlais des bases de numération.

**anthony_unac** · 29/09/2011, 10h44

Re,

Aujourd'hui j'ai tenté d'appliquer ce type de transformation sur les décimales de $\text{[math]}$ et comme vous pouvez vous en douter, on aboutit à rien de spécialement parlant :
$\text{[math]}$
L'inverseur de Plouffe boude ces décimales et je vous avouerais que je n'ai pas le courage de calculer les transformées successives de $\text{[math]}$ car c'est long et sujet aux erreurs.
Au même titre que les dérivées nième, la moindre erreur sur la transformée de *niveau* $\text{[math]}$ entraine inexorablement une erreur sur les transformées suivantes.

Face à cela, je me demande s'il est possible à l'aide d'un logiciel type Maple d'aller chercher la nième décimale de $\text{[math]}$ . Ce logiciel possédant une bibliothèque de fonctions assez vaste, il doit être possible d'aller chercher la nième décimale de $\text{[math]}$ ?

Dlzlogic · 29/09/2011, 11h11

Bonjour,
A mon avis, pour faire un logiciel qui va chercher la nième décimale de pi, il faudrait en avoir besoin, mais je pense que c'est pas très difficile à réaliser.

invite4492c379 · 29/09/2011, 12h08

Hello,

le plus simple pour accéder à la nième décimale de PI est d'utiliser internet comme ressource. Une brève recherche donne par exemple un lien vers un site qui propose un fichier qui en contient 4 millions : http://zenwerx.com/projects/pi-digits/pi/

**anthony_unac** · 29/09/2011, 12h22

Oui je connais aussi un site qui donne beaucoup de décimales de $\text{[math]}$ écrites savamment par lignes de 100 et par paragraphes ....
Mais je pense avoir trouvé sur Maple une façon simple d'avoir la nieme décimale de $\text{[math]}$

Exemple avec la 97e décimale :
*************************
Digits := 99;
eval(Pi);

il suffit alors de récupérer l'avant dernière décimale à droite de l'écran.

**anthony_unac** · 29/09/2011, 13h22

Voici un petit programme gracieusement offert :

Code:

DECIMALE:=proc(x,n)local n1,q; 
> n1:=floor(x*10^n);
> q:=n1 mod 10: 
> end proc:
> DECIMALE((Pi),97);

                                  0

> evalf(Pi);

  3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459\
        2307816406286208998628034825342117068

> Digits:=100;

                            Digits := 100

Ci dessus vous pouvez apercevoir le calcul de la 97e décimale de $\text{[math]}$
Cela fonctionne bien mais je veux aller plus loin encore.

invite4492c379 · 29/09/2011, 15h28

Plus loin ? Beaucoup plus loin ? Tu n'as besoin que du nème chiffres ?

**anthony_unac** · 29/09/2011, 16h57

Envoyé par photon57

Plus loin ? Beaucoup plus loin ? Tu n'as besoin que du nème chiffres ?

J aimerais rentrer une suite de décimales a Maple et qu il me retourne directement la transformée

**anthony_unac** · 30/09/2011, 21h11

J'ai commencé à travailler avec les décimales de pi avec ce code :

Code:

> Digits:=100;

                            Digits := 100

> DECIMALE:=proc(x,n)
> local n1,q;
> n1:=floor(x*10^n);
> q:=n1 mod 10:
> end proc:
> DECIMALE(evalf(Pi),15);

                                  3

> for i from 1 to 10 do print(DECIMALE(evalf(Pi),DECIMALE(evalf(Pi),i))) end do;

                                  1


                                  5


                                  1


                                  9


                                  3


                                  4


                                  2


                                  9


                                  1


                                  9

Mais ce code ne gère pas le cas d'une décimale déjà utilisée :

Exemple :
*********

141592653

1 appelle la 1ere décimale à savoir 1
4 appelle la 4e décimale à savoir 5
1 appelle la 1ere décimale à savoir 1 mais cette décimale à déjà été utilisé donc je prend deux décimales :
15 appelle la 15e décimale à savoir 3
9 appelle la 9e décimale à savoir 3
2 appelle la 2e décimale à savoir 4
.......

invite4492c379 · 30/09/2011, 21h58

Àmha, ta méthode est lourde (récupérer les décimales de pi en faisant des calculs flottants ...)

A priori il serait plus simple de traiter ton problème comme une simple réécriture. Tu stockes tes décimales dans un tableau (ou chaine de caractères par exemple), puis tu le parcours en construisant l'index du caractère que tu recherches en n'oubliant pas de stocker également les index déjà utilisés (soit dans ton objet pi soit à côté).

En gros un truc du genre

Code:

type décimale :
        valeur  : entier
        utilisée : booléen
fin type

fonction Réécrire( entrée : décimale[] ) : décimale[]
début
        indexEntrée : entier // sera l'index de la décimale courante
        indexCalculé : entier // sera l'index de la décimale pour la réécriture
        indexSortie : entier // sera l'index pour écrire dans le tableau de sortie

        sortie : decimale[]

        valide : booléen

        indexEntrée = 0 // mes tableaux commencent à 0
        indexCalculé = 0
        indexSortie = 0

        tant que indexEntrée<entrée.Longueur faire
            faire
                indexCalculé = indexCalculé * 10 + entrée[indexEntrée].valeur
                indexEntrée = indexEntrée + 1
                si (indexCalculé > entrée.Longueur) ou (indexEntrée>=entrée.Longueur) alors
                    retourner sortie
            tant que entrée[indexCalculé].utilisée = vrai

            sortie[indexSortie] = entrée[indexCalculé]
            indexSortie = indexSortie + 1
            indexCalculé = 0
        fin tantque

        retourner sortie
fin

Bon un algo simple jeté comme ça, il n'est certainement pas parfait mais c'est pour te donner une idée.

**anthony_unac** · 01/10/2011, 06h09

Envoyé par photon57

Àmha, ta méthode est lourde

C'est fort probable car je suis toujours une calamité en informatique.

Code:

type décimale :
        valeur  : entier
        utilisée : booléen
fin type

fonction Réécrire( entrée : décimale[] ) : décimale[]
début
        indexEntrée : entier // sera l'index de la décimale courante
        indexCalculé : entier // sera l'index de la décimale pour la réécriture
        indexSortie : entier // sera l'index pour écrire dans le tableau de sortie

        sortie : decimale[]

        valide : booléen

        indexEntrée = 0 // mes tableaux commencent à 0
        indexCalculé = 0
        indexSortie = 0

        tant que indexEntrée<entrée.Longueur faire
            faire
                indexCalculé = indexCalculé * 10 + entrée[indexEntrée].valeur
                indexEntrée = indexEntrée + 1
                si (indexCalculé > entrée.Longueur) ou (indexEntrée>=entrée.Longueur) alors
                    retourner sortie
            tant que entrée[indexCalculé].utilisée = vrai

            sortie[indexSortie] = entrée[indexCalculé]
            indexSortie = indexSortie + 1
            indexCalculé = 0
        fin tantque

        retourner sortie
fin

Ou la la mais ne serait ce pas du C ou du java ce code ?
J'ai pas tout compris mais je vais voir ce que ça donne.
Existe t il un espace en ligne pour pouvoir tester ce code ?

invite4492c379 · 01/10/2011, 11h33

C'est un algo, donc pas de langage particulier. Il faut juste l'implémenter ensuite ; généralement tant que devient while, si alors devient if then , etc ...

Un algo ne fait que décrire en Français ce que tu veux faire.

**anthony_unac** · 01/10/2011, 16h51

Envoyé par photon57

Un algo ne fait que décrire en Français ce que tu veux faire.

Eh bien c'est loupé car je ne comprends rien de tout cela.
A la limite je préfère encore le langage du GRAFCET qui est beaucoup plus clair (du moins à mes yeux)
Je crois que je suis fâché en fait avec les langages de programmation (surtout avec le C)

invite4492c379 · 01/10/2011, 17h28

Imagine :

Tu as une feuille devant toi sur laquelle sont inscrites les 1000 premières décimales de pi. Elle sont rangées dans un tableau, une décimale par cellule, chaque cellule est numérotée. Par convention on va dire que la première décimale se trouve dans la case numérotée 0.

Je dispose de la même feuille, identique en tout point. Je dispose d'un stylo et le but est de me faire écrire le nombre que tu désires en me faisant effectuer des manipulations simples.

Les ordres que tu peux utiliser sont :

me faire créer un tableau, une liste ou des variables de type quelconque.
récupérer ou mettre un valeur dans un tableau ou une variable.
me faire répéter des action en utilisant des mots comme "pour tous les éléments du tableau", "tant que «cette condition» est vraie", "si «condition» alors action sinon action"

Alors vas-y, explique moi ce que je dois faire

**anthony_unac** · 03/10/2011, 22h31

Envoyé par photon57

Alors vas-y, explique moi ce que je dois faire

A peu près ce qui se trouve sur le fichier ci-joint

invite4492c379 · 04/10/2011, 11h54

Hello,

Imagine un nombre dont les cent premières décimales sont des 1 et les cent suivantes des 2 ... il va y avoir un petit problème avec ton algo.

Tu arrives à traduire cet algo dans un langage particulier ?

**anthony_unac** · 05/10/2011, 23h01

Voici ci joint une méthode plus fiable pour transformer une série de décimales :
GRAFCET-1.pdf

invite4492c379 · 06/10/2011, 07h51

Hello,

Ça a l'air mieux. Tu peux également fusionner les deux branches, car le cas une décimale correspond au cas k=1.

Arrives tu à l'implémenter maintenant ?

**anthony_unac** · 06/10/2011, 10h55

Envoyé par photon57

Tu peux également fusionner les deux branches, car le cas une décimale correspond au cas k=1.

Arrives tu à l'implémenter maintenant ?

C'est exactement ce que je pensais, la branche de gauche est de trop et peut être effacer à condition d'initialiser la variable k à 1.

Non je n'arrive pas à l'implémenter mais je vais déjà essayer de le reformuler sous forme de GRAFCET en m'affranchissant de cette longue divergence en OU qui est inutile.

**anthony_unac** · 06/10/2011, 12h30

Après avoir nettoyé le GRAFCET, j'aboutis finalement à ceci :

GRAFCET2.pdf

NB : Après coup, je me suis rendu compte que la numérotation des étapes ne ressemble plus à grand chose mais qu'importe ce ne sont que des nombres pour désigner des étapes

**anthony_unac** · 07/10/2011, 11h18

Je ne sais plus si ce fil qui vire à l'informatique a toujours sa place en mathématique mais je poursuis :

Mon programme pourrait commencer par la déclaration des variables ainsi que leurs initialisations.
Je distingue ainsi 5 variables :
***********************
* i, j, k et n qui sont des entiers
* tab qui est un tableau

Initialisation :
**********
i:=1
j:=0
k:=1
n dépend directement du nombre de décimales inscrites par l'utilisateur
tab=0

**anthony_unac** · 07/10/2011, 11h22

En y réfléchissant je crois que n n'est pas une variable mais plutôt une constante qui est définie par le nombre de décimales inscrites par l'utilisateur.

**anthony_unac** · 21/10/2011, 17h49

Re,

Après essais, j'aboutis à un résultat qui n'a peut être rien de surprenant :

Observons les décimales de $\text{[math]}$ et notons $\text{[math]}$ la transformée de niveau $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ . Par analogie avec la dérivée on parlera de transformée nième :
****************************** *

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Autrement dit, les transformations successives de $\text{[math]}$ convergent vers (3+1/9) et cela dès la transformée 3e de $\text{[math]}$ .

Cordialement
Anthony

**anthony_unac** · 21/10/2011, 18h22

De la même manière, les transformations successives des décimales constituées par la suite des nombres premiers convergent vers $\text{[math]}$ et cela dès la transformée 2e.
A contrario, les transformations successives des décimales de $\text{[math]}$ ne convergent pas et oscillent entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . C'est comme s'il y avait une période qui vaut deux.
D'autres cas encore admettent des périodes égales à $\text{[math]}$ tel $\text{[math]}$

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