salut tous,
j'ai vu sur le net qu'une matrice n'est inversible que si son determinant est non nul (OK je cromprends pourquoi) et si elle est carré.
=> je ne connaissais pas cette 2eme condition, pouvez vous m'expliquer pourquoi elle doit etre vérifiée ??
merci d'avance
C'est plus simple à voir avec les applications linéaires représentées par les matrices.
Une application linéaire n'est inversible que si c'est une bijection, donc le cardinal de l'ensemble de départ doit être égal au cardinal de l'ensemble d'arrivée, donc la matrice qui représente une application linéaire inversible est forcément carrée.
Pour rester uniquement avec les matrices, une matrice A est dite inversible si il existe une matrice B telle que :
AB = BA = I
Or si A est une matrice nxm et B une matrice mxn (pour que les produits AB et BA soient définis), Alors la matrice AB est une matrice carrée de taille n, et la matrice BA est une matrice carrée de taille m, elles ne peuvent donc êtres égales que si m=n. Ainsi A (et B) sont des matrices carrées.
Déjà on ne parle de déterminant que pour les matrices carrées. Ensuite si il n'est pas carrée disons 2*3, elle pourrait avoir plusieurs inverses : 3*2, 3*3, 3*4... pour les matrices I2, I3, I4...
Mais enfait elle n'en a aucun peu importe les dimensions, car si tu prends par exemple une matrice 2*3 et que tu cherches une matrice 3*2 tel que le produit soit égal à I2, alors tu te retrouveras avec un système de 6 inconnues (les coefficients de la matrice X tel que AX= I2) pour seulement 4 équations, soit une infinité de solutions alors qu'on impose à l'inverse d'être unique...
Bonjour,
En fait on peut parler d'inverse à gauche et à droite.
Une matrice A de Mn,p(lR) non carrée peut avoir des inverses à gauches, c'est à dire les matrices B de Mp,n(lR) telles que BA=Ip
de même des inverses à droite toute les matrices C de Mp,n(lR) telles que AC=In
Soit B un inverse à gauche et à droite de A, on voit que AB=In et BA=Ip, on ne pourra donc parler d'inverse que si AB=BA et donc si n=p.
merci de votre aide
Le donc que j'ai mis en gras est faux, pour vous en convaincre, il suffit de remarquer queEnvoyé par Tryss
a le même cardinal que
La condition nécessaire est "même dimension sur le même corps" et non "même cardinal" dans le cas des applications linéaires.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
je relance le sujet.
si j'ai bien compris on peut inverser une matrice non carrée ? dans quel cas peut on à avoir à faire ceci ?
dans le cas où a plus d'equations que d'inconnues dans un systeme ? la solution est elle unique dans ce cas ?
Dernière modification par membreComplexe12 ; 14/11/2011 à 23h33.
je suis allé un peu vite, si j'ai bien compris alors :
lorsqu'on a plus d'equations (exemple 4) que d'inconnues (exemple 3) on ne conserve que 3 equations qui nous interesse pour determinées nos inconnues et si notre probleme est bien posé alors la derniere equation sert seulement à verifier que c OK ?
=> j'ai vu sur des forum que des personnes avaient à inverser une matrice non carré, je ne comprends pas pourquoi du coup....?
=> car si on a un probleme comme ceci, on doit reduire la matrice pour avoir une matrice carré et resoudre le probleme, la ligne que l'on aura enlevée ne servira qu'a verifier les caluls tout comme lorsqu'on a un systeme ?
Ils avaient peut-être à inverser une matrice non carré dans le sens où ils avaient à résoudre un système d'équations linéaires ne présentant pas autant d'inconnues que d'équations. Dans ce cas, ils n'auront pas une unique solution mais 0 ou une infinité.
vous pouvez me faire un petit rappel svp:
1°) si on a plus d'equations que d'inconnues on a soit 0 soit une infinité de solution ? je pensais pas...
==> exemple: si j'ai 4 equation et 3 inconnues je pensais qu'il fallait conserver que 3 equations et on trouverai nos trois inconnues (solution unique), ensuite la derniere equation servirai juste à verifier les calculs...
2°) si on a plus d'inconnues que d'equation je comprends que la solution soit pas unique
==> exemple: x+y=0 ; on peut avoir x=-2 y=2 mais aussi x=3 y=-3 ....
pour ton 1°, ça peut dépendre des cas, si ton équation en trop confirme ton système, ça implique que ton équation est redondante (n'apporte pas d'information), elle dépend linéairement des trois autres équations. Dans ce cas on peut très bien ignorer cette équation.
Il est aussi possible que plusieurs équations soient ainsi, donc une infinité de solutions, si on élimine toutes les équations redondantes, on se retrouve dans ton cas 2°.
Enfin si aucune équation n'est redondante, il y a alors aucune solution exacte, on peut cependant trouver une approche en projetant l'ensemble des solutions sur l'ensemble des équations (moindres carrés)
super merci !
