opération de Hilbert

[Archimede12]

Bonjours,
Je suis nouveau sur le site et je voudrais saluer les inscrits en général.
Je vais commencer ma participation par des demandes. J'ai commencé à lire le traité de Bourbaki "Théorie des ensembles" et je suis tombé sur le symbole tau_x(A(x)) avec A(x) un prédicat. Je n'ai pas très bien compris l’intérêt de ce symbole ni de l'opération dite de Hilbert qui emploie justement ce signe. Je sais qu'ils utilisent la notation polonaise préfixée pour abréger l'écriture mais je ne vois pas comment peut-on manipuler ou utiliser ce symbole.
Peut-être qu'il y a des gens qui pensent que ce sujet n'a pas d'importance, de plus ce symbole est obsolète, cependant il a une importance historique quant à la formation des fondements des mathématiques.
-----

[Médiat]

Bonjour,

Peut-être qu'il y a des gens qui pensent que ce sujet n'a pas d'importance, de plus ce symbole est obsolète, cependant il a une importance historique quant à la formation des fondements des mathématiques.

D'abord, je dois vous dire que j'ai commencé à étudier la théorie des ensembles 1971 (avec Krivine) et que je n'ai jamais lu un seul article utilisant ce symbole.

Néanmoins, ce que j'en comprends, c'est que est un "témoin" qui vérifie A s'il en existe, autrement dit opère un choix parmi les éléments qui vérifie A s'il en existe, ou sans contrainte sinon.

[Archimede12]

Merci Médiat pour votre réponse; si je comprends bien tau_x, permet de définir d'une certaine manière le quantificateur existentiel: si A(x) est vérifié pour tau_x(A(x)) alors il existe bien un x qui vérifie A. Si c'est bien cela je pense comprendre.
Cependant dans le "Cours d’algèbre" de Godement, il employait ce symbole pour définir le cardinal d'un ensemble X équipotent avec un ensemble Y. Je n'ai pas très bien compris comment cet "opérateur de choix" peut nous aider.
Merci de votre attention.

[Médiat]

Bonjour,

Ce n'est pas exactement la même chose que le quantificateur existentiel, qui lui ne choisit pas un témoin, est donc "plus fort".

Un opérateur de choix, dans le cas des bijection entre x et y, choisit un ensemble parmi ceux qui sont equipotents à x, et on peut très bien décider de baptiser celui-ci "le cardinal de x", dans ZFC la démarche est parallèle, on choisit le plus petit ordinal équipotent à x (ce choix étant licite dans ZFC, c'est à dire avec axiome du choix : tout se tient ).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Archimede12]

Merci beaucoup pour ces explications. J'en prendrai note lors de mes réflexions prochaines.
A bientôt.