Question sur les matrices

[invite0d9b859e]

Bonjour,

Je voulais juste savoir si cette propriété est toujours vraie:
Soit une matrice n*r de rang r, alors est inversible.
Je n'ai jamais vu cette propriété, cependant je l'ai utilisée dans la correction d'un exercice.
Si celle-ci est correcte, pouvez-vous m'indiquer d'où cela vient(juste pour avoir une idée de la démonstration)

Merci d'avance
Cordialement
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[sylvainc2]

Oui c'est vrai, Je sais pas s'il y a un théorème, mais c'est facile à prouver.

Supposons le contraire. Si A^t A n'est pas inversible c'est qu'il existe des vecteurs x autres que x=0 tels que (A^t A) x = 0.
On multiplie les deux côtés par x^t:
x^t A^t A x = 0 --> (Ax)^t (Ax)=0. On pose Ax=b: --> b^t b = 0. Ceci est vrai seulement si b=0 donc si Ax=0. Mais comme A est nxr de rang r, la seule solution de Ax=0 est x=0, ce qui contredit la supposition.

[invite0d9b859e]

Super, merci beaucoup pour ta réponse!