Derivé de 1/X

[hterrolle]

Bonjour,

Je revise un peut mes connaissances, l'histoire de ne pas tout oublier. Et voila qu'en regardant les intégrales je tombe sur
1/X qui est incontournable. Et donc je regarde par hasard la fonction dérivé de f(x) =1/X qui est donné comme étant
f(x)' = -(1/x²). Et là il y a quelque chose qui me stupéfait en traçant la courbe sur ma veille machine a calculer. Je me rends compte que cette courbe va de [-infini ; 0] et la, je me dit. Comment l'intégration de -(1/x²), censé donner la surface sous la courbe peut bien être 1/X puisque dans se cas précis la seul surface a calculer est au dessus de la courbe. Du coup je me dis que dans se cas précis 1/X calcule la surface au dessus de la courbe entre [-y,y=0]. Et la encore surprise je constate que pour f(1) de 1/X la surface est de 1 et que cette surface est decroissante alors qu'une intégrale m'avait toujours sembler être croissante puisque c'est une somme.

Je voulais juste savoir si je n'avait pas oublier quelque chose d'important concernant la dérivé de 1/X et l'intégration de -(1/x²).

merci d'avance.
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[MisterZoulou]

Bonjour,

Piste à suivre, la primitive (ou une primitive) de -1/x² c'est 1/x+constante, et là tout s'arrange.

A+

[hterrolle]

Merci pour la réponse,

Mais je pense avoir mal posé ma question. En fait dans un prmier temps je voulais savoir se que représente la primitive 1/X
étant donné que la courbe de sa dérivé et sous l'axe des X en -y.
Ou dis autrement si la primitive calcul l'aire sous la courde de sa dérivé, que calcule 1/X ?

merci

[MisterZoulou]

Bonjour,

Reprenons, et pour faire simple restons dans R+.

L'intégrale définie de -1/x² calculée de a à b (avec a<b) représente bien l'aire qui s'étend de a à b entre l'axe des x et la courbe représentative de -1/x². Cette aire est visiblement négative.
Tout comme l'est 1/b-1/a qui représente la variation d'une primitive de -1/x² entre a et b.

Donc il faut éviter de confondre l'intégrale définie qui mesure l'aire en question et la primitive (ou intégrale indéfinie) qui n'est définie qu'à une constante près. Dit autrement, l'intégrale définie est un nombre, la primitive une fonction.

Bonne journée

[A voir en vidéo sur Futura]

[hterrolle]

J'ais arrété l'école depuis longtemps, mais je révise tous les ans l'histoire de ne pas perdre le fils. Du coup il y a des fois ou je me pose de nouvelle question. Question alors je n'avais pas pensé.

Dans mes souvenir la primitive est la fonction qui calcule l'aire sous la courbe de la dérivé, comme X² calcule l'aire sous la courbe de 2X entre 0 et X.

Se n'est visiblement pas le cas entre 1/X et sa fonction dérivé -1/X².

Dans le cas ou la dérivé serait (-1/X²)+1 je pourrait comprendre que sa primitive est un sens puisque la courbe passe au dessus de Y=0 mais pour (-1/X²), j'avoue ne plus comprendre.

[Amanuensis]

Dans mes souvenir la primitive est la fonction qui calcule l'aire sous la courbe de la dérivé, comme X² calcule l'aire sous la courbe de 2X entre 0 et X.

C'est cela qui est faux. L'aire sous une courbe entre les abscisses a et b est la différence entre la valeur de la primitive en a et sa valeur en b. L'exemple donné marche simplement parce que c'est le cas a=0, b=X, et que la primitive choisie vaut 0 en 0.

[hterrolle]

Si une primitive donne l'aire entre Xn et Xn+x que se soit entre a=2 et b =3 ou a=0 et l'infini. La primitive fait une sommation c'et a dire elle donne l'aire sous la courbe pour chaque y = F(X) et ou l'aire entre a=2 et b=3 est y = F(b) - F(a).

Ont est bien d'accord. Mais lorsque la courbe de la dérivé ne croise jamais l'axe des abcises, comment peut alors trouver sa dérivé et tant bien même qu'est ce qu'elle serait cencé calculer.

Ensuite l'autre point est que 1/X est une fonction décroissante [y =+infini, y =0 pour X = infini]. Si une integrale est une fonction qui fait une sommation dans se cas sommer des valeurs négative
devrait aller de [y= infini en x=0 et y= -"infini en x= infini] Hors se n'est pas le cas.

Donc ma question reste bien " que calcule la primitive 1/X lorsque sa dérivé est (-1/X²) ? "

Merci pour ceux qui pourront répondre a cette petite question.

[Amanuensis]

Donc ma question reste bien " que calcule la primitive 1/X lorsque sa dérivé est (-1/X²) ? "

La réponse a été donnée, que vous l'admettiez ou non. À part faire répéter ce qui a déjà été écrit, qu'attendez-vous par cette question ??

1/x est une primitive de -1/x², donc la surface sous la courbe (au sens de "entre la courbe et la ligne y=0" avec la convention de signe qui va bien) de -1/x² entre a et b est 1/b-1/a.

Si vous prenez 1/x seul, c'est la surface sous la courbe -1/x² entre un point b=x et un point a tel que 1/a=0. Comme il n'y pas de tel point...

[hterrolle]

Ok, je pense avoir compris.

Donc si je prends l'example suivant f(x) = (-1/x²) +1 qui devrait donné F(x) = 1/X + X + 2 donc avec C=2 J'obtiens bien l'aire sous la courbre (-1/x²) + 1. entre [y=0 x=1 et y=infini x=infini]

Donc pour f(x) = (-1/x²) et F(x) = 1/X -1 avec C = -1 j'obtiens bien l'aire au dessus de la courbe de (-1/X²) entre [y=-1 et Y=0]

En faites j'avias donc oublir que lors de l'integration il faut adapter la primitive avec la constante C afin que les deux courbe se croisent a l'intersection en y=0

J'espére avoir compris, merci de me confirmer si c'est le cas

[Amanuensis]

J'espére avoir compris, merci de me confirmer si c'est le cas

À peu près, oui.

lors de l'integration il faut adapter la primitive avec la constante C afin que les deux courbe se croisent a l'intersection en y=0

C'est un cas particulier, mais c'est l'idée...

[hterrolle]

En tout cas merci pour votre patience.

Votre avant dernier post m'a mi la puce a l'oreille.

"Si vous prenez 1/x seul, c'est la surface sous la courbe -1/x² entre un point b=x et un point a tel que 1/a=0. Comme il n'y pas de tel point... "

surtout la fin " Comme il n'y pas de tel point... "

[Amanuensis]

Votre avant dernier post m'a mi la puce a l'oreille.(...)
surtout la fin " Comme il n'y pas de tel point... "

C'était la signification des "...", inviter à analyser les conséquences. Si cela vous a permis de comprendre dans vos propres termes (qui sont différents des miens), tant mieux.