espace vectoriel

[magodeoz]

Bonjour, j'ai un problème avec cet exercice:
CADRE
E=K³
Une application f:ExExE |->K est dite alternée si pour tout X₁,X₂,X₃ Є E,
f(X₁,X₂,X₃)=-f(X₂,X₁,X₃)=-f(X₃,X₁,X₂)=-f(X₃,X₂,X₁)

Une application f:ExExE |->K est dite trilinéaire si:
-pour X₁,X₂,X₃ Є E, pour tout λЄ K,pour tout Y₁Є E ,f(X₁+ λY₁,X₂,X₃)
=λf(Y₁,X₂,X₃)+f(X₁,X₂,X₃)

-pour X₁,X₂,X₃ Є E, pour tout λЄ K,pour tout Y₃Є E ,f(X₁,X₂,X₃+ λY₃)
=λf(X₁,X₂,Y₃)+f(X₁,X₂,X₃)

-pour X₁,X₂,X₃ Є E, pour tout λЄ K,pour tout Y₂Є E ,f(X₁,X₂+ λY₂,X₃)
=λf(X₁,Y₂,X₃)+f(X₁,X₂,X₃)

Questions:
1) Soit Y₁,Y₂,2 vecteurs quelconques de E et f:ExExE |->K une application trilinéaire alternée:Montrer que f(Y₁,Y₁,Y₂)=0

2)Soit f:ExExE |->K etg:ExExE |->K ,2 applications trilinéaires alternées.
Démontrer que f((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))=g(( 1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)) alors pour tout X₁,X₂,X₃ Є E: f(X₁,X₂,X₃)=g(X₁,X₂,X₃)

J'ai un peu de mal à comprendre ce que je dois faire...Pourriez-vous m'expliquer comment procéder...?

D'avance merci de votre aide,
Cordialement
Mägodeoz
-----

[Tryss]

Pour la 1), comme f est alternée, on a que :

f(a,a,b) = - f(a,a,b) (en inversant les 2 a)

Pour la 2), il suffit de décomposer X1, X2 et X3 dans la base canonique (e1,e2,e3) et de faire un peu de transformations :

Si on note X1 = (a1,b1,c1) (idem pour X2 et X3) alors on a :

f(X1,X2,X3) = f(a1.e1+b1.e2+c1.e3, a2.e1+b2.e2+c2.e3, a3.e1+b3.e2+c3.e3)
Comme f trilinéaire, on peut développer :
= a1.f(e1, a2.e1+b2.e2+c2.e3, a3.e1+b3.e2+c3.e3)+ , b1.f(e2,a2.e1+b2.e2+c2.e3, a3.e1+b3.e2+c3.e3)+ c1.f(e3, a2.e1+b2.e2+c2.e3, a3.e1+b3.e2+c3.e3)
= ... dès que l'on a 2 fois le même vecteur, la fonction est nulle, on continue à développer, et en simplifiant les termes nuls, il reste donc :
= a1.b2.c3.f(e1,e2,e3) + a1.c2.b3.f(e1,e3,e2) + b1.a2.c3.f(e2,e1,e3) + b1.c2.a3.f(e2,e3,e1) + c1.a2.b3.f(e3,e1,e2) + c1.b2.a3.f(e3,e2,e1)
Ensuite comme f alternée, on a peut changer l'ordre des termes dans la fonction f (en changeant le signe si nécessaire), on a alors :
= (a1.b2.c3-a1.c2.b3-b1.a2.c3+b1.c2.a3+c1.a2.b3-c1.b2.a3)*f(e1,e2,e3)

Ceci étant vrai pour toute fonction trilinéaire alternée, on a le résultat.

[magodeoz]

Merci de votre réponse Triss. Pour la 1) c'est très clair.J'avais fait cela mais je doutais car cela me paraissait trop simple (rarement bon signe avec mon professeur ^^ )
Pour la 2) Je n'ai pas bien compris ce qu'est "la base canonique (e1,e2,e3) "

f(X1,X2,X3) = f(a1.e1+b1.e2+c1.e3, a2.e1+b2.e2+c2.e3, a3.e1+b3.e2+c3.e3)
Comme f trilinéaire, on peut développer :
= a1.f(e1, a2.e1+b2.e2+c2.e3, a3.e1+b3.e2+c3.e3)+ , b1.f(e2,a2.e1+b2.e2+c2.e3, a3.e1+b3.e2+c3.e3)+ c1.f(e3, a2.e1+b2.e2+c2.e3, a3.e1+b3.e2+c3.e3)

ça d'accord, je vois comment on passe de l'un à l'autre.

= ... dès que l'on a 2 fois le même vecteur, la fonction est nulle, on continue à développer, et en simplifiant les termes nuls, il reste donc

ça par contre je ne comprends pas...2 fois le même vecteur... a3.e1+b3.e2+c3.e3 et a2.e1+b2.e2+c2.e3 ?

[magodeoz]

= (a1.b2.c3-a1.c2.b3-b1.a2.c3+b1.c2.a3+c1.a2.b3-c1.b2.a3)*f(e1,e2,e3) .Donc si je comprends bien...f((1,0,0),(0,1,0),(0,0, 1))=f((a1,b1,c1),(a2,b2,c2),(a 3,b3,c3)).En quoi l'expression ci-dessus justifie "pour tout X1,X2,X3 Є E: f(X1,X2,X3)=g(X1,X2,X3)"?

D'avance merci de vos éclaircissements

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss]

La base canonique c'est ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)) notée ici (e1, e2,e3) pour la simplicité.
e1 = (1,0,0)
e2 = (0,1,0)
e3 = (0,0,1)

Et on peut écrire tout vecteur de R^3de façon unique (a,b,c) = a*e1+b*e2+c*e3

ça par contre je ne comprends pas...2 fois le même vecteur... a3.e1+b3.e2+c3.e3 et a2.e1+b2.e2+c2.e3 ?

Non, je dis juste que si on a quelque chose de la forme A*f(e1,e1,X), alors c'est nul (d'après la question 1).

Les seuls termes qui ne sont pas nuls sont alors f(e1,e2,e3), f(e1,e3,e2),f(e2,e1,e3),f(e2,e 3,e1), f(e3,e1,e2) et f(e3,e2,e1)

Je n'ai pas écrit tout le développement car c'est assez pénible

Donc si je comprends bien...f((1,0,0),(0,1,0),(0,0, 1))=f((a1,b1,c1),(a2,b2,c2),(a 3,b3,c3)).En quoi l'expression ci-dessus justifie "pour tout X1,X2,X3 Є E: f(X1,X2,X3)=g(X1,X2,X3)"?

Non, on a si f est trilinéaire alternée :

f((a1,b1,c1),(a2,b2,c2),(a 3,b3,c3)) = (a1.b2.c3-a1.c2.b3-b1.a2.c3+b1.c2.a3+c1.a2.b3-c1.b2.a3)*f((1,0,0),(0,1,0),(0 ,0,1))

Donc si f et g sont trilinéaires alternées et f((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)) = g((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)), alors on a :

f((a1,b1,c1),(a2,b2,c2),(a 3,b3,c3)) = (a1.b2.c3-a1.c2.b3-b1.a2.c3+b1.c2.a3+c1.a2.b3-c1.b2.a3)*f((1,0,0),(0,1,0),(0 ,0,1))
= (a1.b2.c3-a1.c2.b3-b1.a2.c3+b1.c2.a3+c1.a2.b3-c1.b2.a3)*g((1,0,0),(0,1,0),(0 ,0,1))
= g((a1,b1,c1),(a2,b2,c2),(a 3,b3,c3))

[magodeoz]

La base canonique c'est ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)) notée ici (e1, e2,e3) pour la simplicité.
e1 = (1,0,0)
e2 = (0,1,0)
e3 = (0,0,1)

Et on peut écrire tout vecteur de R^3de façon unique (a,b,c) = a*e1+b*e2+c*e3

Ah oui merci,je comprends mieux

si on a quelque chose de la forme A*f(e1,e1,X), alors c'est nul

a1.f(e1, a2.e1+b2.e2+c2.e3, a3.e1+b3.e2+c3.e3)+ , b1.f(e2,a2.e1+b2.e2+c2.e3, a3.e1+b3.e2+c3.e3)+ c1.f(e3, a2.e1+b2.e2+c2.e3, a3.e1+b3.e2+c3.e3) Je ne sais pas pourquoi cette partie me bloque toujours....Qu'est-ce qui est de la forme A*f(e1,e1,X) dans cette expression 0_o?

Non, on a si f est trilinéaire alternée :

f((a1,b1,c1),(a2,b2,c2),(a 3,b3,c3)) = (a1.b2.c3-a1.c2.b3-b1.a2.c3+b1.c2.a3+c1.a2.b3-c1.b2.a3)*f((1,0,0),(0,1,0),(0 ,0,1))

Donc si f et g sont trilinéaires alternées et f((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)) = g((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)), alors on a :

f((a1,b1,c1),(a2,b2,c2),(a 3,b3,c3)) = (a1.b2.c3-a1.c2.b3-b1.a2.c3+b1.c2.a3+c1.a2.b3-c1.b2.a3)*f((1,0,0),(0,1,0),(0 ,0,1))
= (a1.b2.c3-a1.c2.b3-b1.a2.c3+b1.c2.a3+c1.a2.b3-c1.b2.a3)*g((1,0,0),(0,1,0),(0 ,0,1))
= g((a1,b1,c1),(a2,b2,c2),(a 3,b3,c3))

Ah oui d'accord!ça aussi maintenant j'ai compris

[Tryss]

a1.f(e1, a2.e1+b2.e2+c2.e3, a3.e1+b3.e2+c3.e3)+ , b1.f(e2,a2.e1+b2.e2+c2.e3, a3.e1+b3.e2+c3.e3)+ c1.f(e3, a2.e1+b2.e2+c2.e3, a3.e1+b3.e2+c3.e3) Je ne sais pas pourquoi cette partie me bloque toujours....Qu'est-ce qui est de la forme A*f(e1,e1,X) dans cette expression 0_o?

Pour l'instant rien, mais si tu développes le second terme, tu as :

a1.f(e1, a2.e1+b2.e2+c2.e3, a3.e1+b3.e2+c3.e3) = a1.a2.f(e1,e1, a3.e1+b3.e2+c3.e3)+a1.b2.f(e1, e2, a3.e1+b3.e2+c3.e3)+a1.c2.f(e1, e3, a3.e1+b3.e2+c3.e3)

Donc le terme dont les éléments sont en rouge est nul

= a1.b2.f(e1,e2, a3.e1+b3.e2+c3.e3)+a1.c2.f(e1, e3, a3.e1+b3.e2+c3.e3)

On continue à développer :

a1.b2.f(e1,e2, a3.e1+b3.e2+c3.e3) = a1.b2.a3.f(e1,e2,e1) + a1.b2.b3.f(e1,e2,e2) + a1.b2.c3.f(e1,e2,e3)

Donc

a1.b2.f(e1,e2, a3.e1+b3.e2+c3.e3) = a1.b2.c3.f(e1,e2,e3)

Même principe pour le reste.

Au final lorsque tu développes f(X1,X2,X3) tu as 27 termes dont seulement 6 sont non nuls

[magodeoz]

Merci de votre réponse,parfaitement claire, j'ai (enfin...) compris.N'y a t-il pas moyen de tomber sur a1.b2.c3.f(e1,e2,e3) + a1.c2.b3.f(e1,e3,e2) + b1.a2.c3.f(e2,e1,e3) + b1.c2.a3.f(e2,e3,e1) + c1.a2.b3.f(e3,e1,e2) + c1.b2.a3.f(e3,e2,e1) sans faire les innombrables développements?
DOnc a1.c2.f(e1, e3, a3.e1+b3.e2+c3.e3)=a1.c2.a3.f( e1,e3,e1)+a1.c2.b3.f(e1,e3,e2) +a1.c2.c3f(e1,e3,e3)=a1.c2.b3. f(e1,e3,e2) c'est bien cela? Et je dois faire pareil avec b1.f(e2,a2.e1+b2.e2+c2.e3, a3.e1+b3.e2+c3.e3) et c1.f(e3, a2.e1+b2.e2+c2.e3, a3.e1+b3.e2+c3.e3) ?

[magodeoz]

C'est bon...J'ai fait tous les développements...Ouf.Je trouve ce que vous aviez dit.
Donc après je dis que l'application est alterné,on peut changer l'ordre des termes dans f:
= (a1.b2.c3-a1.c2.b3-b1.a2.c3+b1.c2.a3+c1.a2.b3-c1.b2.a3)*f(e1,e2,e3) Présence d'un moins quand il suffit d'intervertir une seule fois et "+" quand on le fait en 2 étapes par exemple a1.c2.b3 f(e1,e3,e2)=-a1c2b3 f(e1,e2,e3). b1c2a3 f(e2,e3,e1)=-b1c2a3 f(e1,e3,e2)=b1c2a3 f(e1,e2,e3) c'est bien ça?

[magodeoz]

Donc si f et g sont trilinéaires alternées et f((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)) = g((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)), alors on a :

f(X1,X2,X3) = (a1.b2.c3-a1.c2.b3-b1.a2.c3+b1.c2.a3+c1.a2.b3-c1.b2.a3)*f((1,0,0),(0,1,0),(0 ,0,1))
= (a1.b2.c3-a1.c2.b3-b1.a2.c3+b1.c2.a3+c1.a2.b3-c1.b2.a3)*g((1,0,0),(0,1,0),(0 ,0,1))
= g(X1,X2,X3)


Merci pour tout Tryss.Votre aide m'aura été très précieuse.
Bon week-end.
PRG

[Tryss]

On peut aussi l'écrire sous forme plus condensée mais plus abstraite :

Si on note x_{i} le i ème coefficient du vecteur X, alors on a :





Comme si on a i=j ou j=k ou k=i, alors :



On peut alors écrire tout les cas proprement :




A noter et ça te servira plus tard : on peut remarquer que l'on a obtenu toutes les permutations de (1,2,3) exactement une fois, ainsi si on fait la somme sur les permutations on retrouve le résultat :



Si en plus on remarque que la valeur de ne dépend que de ce que l'on appelle la signature de notée (qui vaut 1 si on a inversé un nombre pair de fois des termes pour obtenir et -1 si ce nombre est impair) et de , alors on peut écrire :



On appelle ce nombre le déterminant, et il ne dépend pas de la valeur de . On peut de la même façon l'étendre aux formes n linéaires alternées.

[magodeoz]

En effet c'est plus propre J'enregistre bien votre message mais n'ayant pas encore vu tout cela,je vais rester sur la méthode "malpropre" si je puis dire

Merci pour tout Tryss