Intégrabilité

[mimo13]

Salut,

Lors d'un cours d'introduction à la théorie d'intégration de lebesgue, le prof a signalé que la fonction caractéristique de l'ensemble des rationnels n'est pas intégrable au sens de Riemann.

Pour moi cette phrase n'a pas de sens, que je sache, on définit l'intégrale de Riemann pour des fonctions continues, continues par morceaux et au max pour des fonctions réglées. (C'est du moins ce qu'on a fait en prépa)

Pour dire que n'est pas intégrable, il faut d'abord pouvoir définir un intégrale pour de telles fonctions.

Autrement dit, l'expression "n'est pas intégrable" signifie seulement que l'intégrale diverge ou carrément que cela n'entre pas dans la définition ?

Merci pour vos réponses.
Cordialement
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[Linkounet]

n'est pas intégrable au sens de Riemann signifie qu'elle n'entre pas dans la définition de l'intégrale de Riemann, et non pas qu'elle diverge.
En effet pour qu'elle soit intégrable au sens de Riemann, il faudrait qu'on puisse l'approcher d'une fonction en escalier tel que la différence entre cette fonction et la fonction soit aussi petite que l'on souhaite, or aussi petit soit le bord du rectangle, c'est à dire l’intervalle [t(i), t(i+1)], il y aura un point où la différence entre les deux fonctions sera supérieur à 1/2, donc on ne peut approcher cette fonction avec une fonction en escalier avec une précision >1/2...

[albanxiii]

Bonjour,

Lors d'un cours d'introduction à la théorie d'intégration de lebesgue, le prof a signalé que la fonction caractéristique de l'ensemble des rationnels n'est pas intégrable au sens de Riemann.

Pour moi cette phrase n'a pas de sens, que je sache, on définit l'intégrale de Riemann pour des fonctions continues, continues par morceaux et au max pour des fonctions réglées. (C'est du moins ce qu'on a fait en prépa)

Vous pouvez quand même calculer ses sommes de Darboux, supérieure et inférieure. Dans ce cas là, vous voyez qu'il est impossibles qu'elles convergent vers la même valeur, d'où la conclusion de votre prof.

[mimo13]

Re,

Ok je vois.
Merci pour vos réponses.

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