polynomes et espaces vectorielles

[membreComplexe12]

Salut tous,

j'ai une question à propos des polynomes. Mes cours de math sont un peu loin donc s'il vous plait pas de reponse trop "hardcore"
en fait j'essai de comprendre le lien entre polynomes et espaces vectoriels

un polynome peux se mettre sous forme vectorielle:

s'écrit aussi
avec et

il y a donc un lien entre espace vectoriel et fonction ?

Si ce produit de vecteur est nul si on a X une racine du polynome

ça veut dire que les deux vecteurs sont orthogonaux (A et X) lorsqu'on à une racine du polynome
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[fitzounet]

La dans ton cas le polynome est vu comme un produit scalaire entre A et X. Ils sont vus comme des vecteurs. Faire le produit scalaire standard revient à additionner le produit de chaque coordonnée d'un vecteur avec l'autre, d'où ton . Donc oui pour une racine on a orthogonalité.

Après des liens entre espace vectoriel et fonctions il y en a pleins. Il existe un tas de classe de fonctions qui sont des espaces vectoriels. En fait un espace vectoriel est un truc stable par addition, et par multuplication par un scalaire (nombre réel si -espace vectoriel, nombre complexe si -espace vectoriel (+ qq autres propriétés qui disent que ton espace doit être un groupe abélien donc je ne sais pas si ça te dis quelque chose mais il doit y avoir associativité, commutativité et existence d'inverse). Bref tout ça pour te dire que l'espace des polynomes de degré n donné par exemple, est un espace vectoriel, de dimension finie (n+1). L'espace des fonctions continues sur R s'annulant en 0 en est un autre, de dimension infinie, cette fois. Eton peut en trouver une infinité.

Dans ton cas, il est considéré un polynome de degré 3. L'ensemble des pol de degré3 est un EV de dim 4. (de base par exemple ) Cet espace vectoriel est isomorphe à $, c'est à dire qu'il existe une bijection entre ces deux espaces. Cette bijection est naturelle :

[membreComplexe12]

merci j'ai compris ce que tu voulais dire sauf la fin :bijection et isomorphe

=> en fait j'ai un espace vectoriel de dimension 4 où se trouve mes vecteurs A et X

et ensuite j'ai pas compris la bijection et isomorphe (il y a bijection entre quoi et quoi ?)

[fitzounet]

2 EV qui sont isomorphes ça veut dire qu'il y a une bijection entre les 2 EV. Ici est utilisé la bijection entre l'EV des polynomes de degré inférieur ou égal à 3, qui est de dimension 4, et qui est également de dimension 4.

Une bijection associe de manière unique un élément d'un espace à un autre. Un élément de c'est un 4-uplet (a,b,c,d). On lui associe tout simplement le polynome . Et vice versa : à un polynome, on associe les 4 coeffs.

[A voir en vidéo sur Futura]

[membreComplexe12]

Ok merci

[fitzounet]

De rien n'hésite pas si tu as d'autres questions

[membreComplexe12]

c'est super gentil !!
merci

ps: j'en ai une autre qui est sur les polynomes mais qui n'a rien avoir avec les espaces vectoriels donc je fais un autre sujet

[Tryss]

Attention, il faut non seulement qu'il y ai une bijection entre les deux espaces mais que cette bijection soit en plus un morphisme. C'est à dire qu'il faut que cette bijection respecte la structure de ces deux espaces.
Dans le cas des espaces vectoriels les morphismes sont les applications linéaires.

Il y existe une bijection entre R et R², mais il n'y a pas isomorphisme entre R et R².

[membreComplexe12]

ça devient un peu technique pour moi tous ceci...
je pense avoir compris les principales idées