Sous-espace stable

**bleh_** · 21/11/2011, 16h04

Bonjour,

dans l'exercice qui suit j'ai réussi la première question mais je coince à la deuxième.

Soient $\text{[math]}$ un endomorphisme de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ une forme linéaire non nulle sur $\text{[math]}$ . Soit $\text{[math]}$ le noyau de $\text{[math]}$ .

1) Montrer : $\text{[math]}$ stable par $\text{[math]}$ si et seulement si $\text{[math]}$ .

2) Application : trouver les plans stables par f canoniquement associé à la matrice : $\text{[math]}$

J'ai essayé de trouver un $\text{[math]}$ qui vérifie l'égalité de la question 1), en posant $\text{[math]}$ canoniquement associé à $\text{[math]}$
Je tombe sur le système suivant :
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ étant non nulle, pour $\text{[math]}$ j'obtiens :
$\text{[math]}$

Et pour $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$

Bon je suis pas sur que mon raisonnement tienne la route, et en plus je ne vois pas trop quoi faire de ça, quelqu'un pour m'aider svp ?

**uppa92** · 21/11/2011, 16h55

Bonjour,

sans être totalement sûr de moi :

les deux cas que tu donnes me semblent bons. Tu as donc 2 scalaires (1 et 2) et deux formes linéaires associées disons $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ telles que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Donc, d'après 1) les plans stables que tu cherches sont les noyaux de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ i.e $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Attends toutefois d'autres réponses ....

Ce qui est sûr en revanche, c'est que 1 et 2 sont valeurs propres évidentes associées respectivement à e1 et e2. Donc Vect{e1} et {Vect2} sont des droites vectorielles stable par f, et donc Vect{e1+e2} est bien un plan stable par f.

**uppa92** · 21/11/2011, 17h02

Erratum ! Je ne peux pas rectifier mon message précèdent donc ...

2 est vp associée à e3 et donc Vect{e3} est stable par f et par suite c'est Vect{e1+e3} qui est bien évidemment stable par f (et non Vect{e1+e2} comme je l'avais ecrit !).

**bleh_** · 21/11/2011, 18h38

Ah bah oui, effectivement ça a l'air d'être ça, merci bien.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**bleh_** · 22/11/2011, 19h09

En regardant un autre exercice, je me suis posé une question, basique à mon avis, mais je ne suis pas sur de moi.

Soit $\text{[math]}$ une forme linéaire de E dans K. Alors comment savoir ce à quoi correspond K quand il n'est pas mentionné. Est-il toujours forcément $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ ? Par exemple en regardant l'exo juste au-dessus, est-ce forcément $\text{[math]}$ ? Je ne vois aucune raison qui ferait que ça ne le soit pas, mais j'ai un doute.

**uppa92** · 22/11/2011, 19h39

Si on appelle E un espace vectoriel défini sur un corps commutatif K, une forme linéaire est une application linéaire de E à valeurs dans K. En général, K est R ou C, mais ce n'est pas une obligation. A toi de voir sur quel corps est défini ton ev de départ . Dans ton exercice, E = Rⁿ qui est un R-ev, donc tes formes linéaires sont à valeurs dans R. Je ne sais pas si c'est très clair ?

**bleh_** · 22/11/2011, 20h05

Okok c'est clair oui, je pense avoir compris, merci.

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