Sous espace compact d'un espace de Hilbert

invite947ee6e5 · 16/02/2009, 00h41

Bonjour !

Voila ce que je dois montrer :
Soit {e_k}_k>0 un ensemble orthonormal dans un espace de Hilbert H.
Si {c_k}_k>0 est une suite de réels positifs tels que $\text{[math]}$ c_k² < $\text{[math]}$ .
Alors, l'ensemble
A = { $\text{[math]}$ a_ke_k : |a_k|<c_k} est compact dans H.

J'ai essayé de procéder en sachant que A est compact dans H si toute suite bornée de A a une sous-suite qui converge en norme vers un élément de A.
Par construction de A, tout élément de A est majoré par $\text{[math]}$ c_ke_k,
donc majoré en norme par la somme $\text{[math]}$ c_k², qui est par hypothèse finie, disons égale à R < $\text{[math]}$ . Donc, tout élément (et donc toute suite d'éléments de A) est contenu dans une "boule" centrée en 0 et de rayon R.
Donc, je prends une suite arbitraire et dois montrer qu'elle a une sous-suite qui converge vers un élément de A. Là, je sais pas comment procéder.
Quelqu'un a une idée ?
Merci.

inviteb81460e7 · 16/02/2009, 01h13

moi je pourrais pas t aider, je parle pas la meme langue que toi, par contre toi je pense ke tu viendrais facilement a bout de mon probleme...
j ai expliqué tout ca dans le topic mathematique college lycée.
merci d avance.

**Thorin** · 16/02/2009, 09h03

Il n'y a pas une égalité large à la place d'une égalité stricte, tu es sûr ? j'ai l'impression (purement intuitive, j'ai pas vraiment réfléchi) que sans inégalité large, ça ne fonctionne pas.

invite2c3ff3cc · 16/02/2009, 15h11

Oui, avec une inégalité stricte le truc risque fort de pas être fermé.

Sinon, c'est quoi la condition sur c_k ?

PS : le latex marche plus on dirait

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitea41c27c1 · 16/02/2009, 15h34

Tu montres que A munie de la topologie norme L^2 est homeomorphe a A munie de la topologie produit, qui celle ci compact par Tychonoff.

invite947ee6e5 · 16/02/2009, 16h05

Bonjour,

Effectivement, dans A = { a_ke_k : |a_k|<c_k}, l'inégalité est large

. Mais moi, ça m'inspire pas plus avec une inégalité large...

invite2c3ff3cc · 16/02/2009, 20h06

Latex est revenu, c'est plus clair !

Avec Tychonov ça le fait en effet, en prenant $\text{[math]}$ plutôt non ?

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