espace de Hilbert

[invite8ef897e4]

1) Cette question est purement semantique : dans mes souvenirs, il n'est fait nul part mention de la dimension dans la definition d'un espace de Hilbert. En particulier, un espace vertoriel reel muni de la norme euclidienne est un exemple simple d'espace de Hilbert. Mes collegues physiciens semblent pretendre que les espaces de Hilbert sont toujours complexes (ce qui m'a l'air trivialement faux) et de dimension infinie. En tout cas, dans mes souvenirs Bourbaki n'avait pas etabli de telles restrictions dans les conventions.

2) Sans but particulier : y a-t-il quelque chose de trivialement faux dans l'idee de construire un espace de Hilbert sur le corps des quaternions ?

3) Question technique : au niveau de la separabilite, nul besoin de differencier separabilite topologique et metrique, les deux coincident pour un espace de Hilbert une fois que les classes d'equivalences (indispensables) sont etablies. De plus, dans le cas d'un espace de dimension infinie a la puissance du continue (base non denombrable) on perd la separabilite.

Merci d'avance.
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[invite9e95248d]

en fait un hilbert est un espace muni d'un produit scalaire et qui en plus est complet.
En dimension finie tout les espaces sont complets donc si on peut définir un produit scalaire ce sont aussi des hilbert.
Ensuite on peut aussi bien avoir des R-espaces vectoriel que des C-espaces vectoriels, seul la définition du produit scalaire.
Autrement dit les hilberts ne sont pas forcément complexe

pour le corps des quaternions je ne le connais pas trop, mais a partir du moment qu'il est complet et qu'un produit scalaire peut y etre définit, je dirais que c'est possible.

pour la 3) je suis pas sur de voir ou est la question tu veux savoir quoi exactement ?

[invite8ef897e4]

OK, il me semblait bien que c'etait ca. Merci. Evidemment, personne n'utilise en pratique des Hilbert reels de dimension finie, c'est trop trivial. L'histoire de l'enclume et de la mouche...

3) je veux juste savoir si mon affirmation est correcte. Des collegues peu scrupuleux et physiciens le mettent en doute.

[Quinto]

OK, il me semblait bien que c'etait ca. Merci. Evidemment, personne n'utilise en pratique des Hilbert reels de dimension finie, c'est trop trivial. L'histoire de l'enclume et de la mouche...

Bein si, mais on les appelle espaces euclidiens et il sont très utilisés quand meme...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8ef897e4]

Oui, mais on ne les appelle jamais "espace de Hilbert". On dit "espace vectoriel euclidien". Il sont utilises dans un context ne necessitant pas tous la technologie de l'analyse harmonique, et les espaces de Hilbert quelque part, c'est pour donner des bases solides et generaliser l'analyse de Fourier.

[Quinto]

D'accord, ce que tu veux dire c'est qu'on peut développer des outils sur les Hilbert que l'on ne développe pas sur les espaces euclidiens?
Je n'ai jamais touché au Hilbert que tres sommairement, donc je me renseigne...

[doryphore]

Les espaces de Hilbert sont les espaces vectoriels munis d'un produit scalaire ( espaces préhibertiens ) complets. S'ils sont de dimension finie et sur R , on dit qu'ils sont euclidiens. S'ils sont définis sur C et de dimension finie, ils sont hermitiens.

Un espace vectoriel complet est un espace de Banach.

[doryphore]

Les espaces de Hilbert sont les espaces vectoriels munis d'un produit scalaire ( espaces préhibertiens ) complets. S'ils sont de dimension finie et sur R , on dit qu'ils sont euclidiens. S'ils sont définis sur C et de dimension finie, ils sont hermitiens.

Un espace vectoriel complet est un espace de Banach.

On emploie spécifiquement le vocable espace de Hibert quand on travaille dans un environnement dans lequel on peut rencontrer des espace de dimension infinie (analyse fonctionnelle).
En physique, comme en math, il est très rare de travailler simultanément et en prenant conscience sur des espaces de dimension finie et des espaces de dimension infinie.

En gros, soit on fait de la géométrie (mécanique du point matériel) et on est sur des euclidiens. Soit on fait de l'analyse fonctionnelle (travaux sur des espaces de phase et autres...) et on est sur des Hilberts.

[martini_bird]

2) Sans but particulier : y a-t-il quelque chose de trivialement faux dans l'idee de construire un espace de Hilbert sur le corps des quaternions ?

Je ne pense pas, mais ça risque d'être plus subtil! Les propriétés générales des espaces vectoriels sont conservées si tu changes le corps de base. Mais, pour l'exemple des quaternions, comme tu ne disposes pas de la commutativité, des problèmes sont à prévoir... A vrai dire, je ne me suis pas penché sur la question et je n'ai jamais rencontré de structure algébrique similaire. Simplement, je ne pense pas que ça s'appelle encore un "espace de Hilbert".

3) Question technique : au niveau de la separabilite, nul besoin de differencier separabilite topologique et metrique, les deux coincident pour un espace de Hilbert une fois que les classes d'equivalences (indispensables) sont etablies. De plus, dans le cas d'un espace de dimension infinie a la puissance du continue (base non denombrable) on perd la separabilite.

Quelle différence fais-tu entre séparabilité métrique et séparibilité topologique? Une métrique définit une topologie, et la séparibilité est une notion topologique, donc je vois pas trop le souci.

[invite8ef897e4]

Quelle différence fais-tu entre séparabilité métrique et séparibilité topologique? Une métrique définit une topologie, et la séparibilité est une notion topologique, donc je vois pas trop le souci.

Certes, la séparabilité est essentiellement une notion topologique. Néanmoins, peu de gens vérifient directement la validité d'un théorème topologique en manipulant des ouverts, lorsqu'il est possible d'utiliser une métrique et manipuler des boules dont on se donne un centre et un rayon. Cela semble pareil, mais c'est beaucoup plus simple en fait. De plus, tous les espaces topologiques n'étant pas métrisables, il est clair que la séparabilité topologique est plus générale que la séparabilité métrique.

Function Spaces and Metrisability of Manifolds

[martini_bird]

Néanmoins, peu de gens vérifient directement la validité d'un théorème topologique en manipulant des ouverts, lorsqu'il est possible d'utiliser une métrique et manipuler des boules dont on se donne un centre et un rayon.

Manipuler des ouverts ou des boules: le langage est finalement le même, puisque la plupart du temps, il existe une base d'ouverts sur les espaces concernés. Quoique... mais ça n'intéresse que les matheux...