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espace de hilbert complexe

  1. #1
    naddouyas

    espace de hilbert complexe

    Bonjour
    je veux montrer que {z^{2m}} est une partie dense de l'espace est la mesure définie par

    étant la fonction de Mac donald
    et le corps des nombres complexes.
    qq a t il une idée? Merci


    Edit : utilise les balises [tex] pour les formules. / martini_bird

    -----

    Dernière modification par martini_bird ; 05/07/2006 à 10h22.

  2. Publicité
  3. #2
    martini_bird

    Re : espace de hilbert complexe

    Salut,

    juste pour faire avancer le schmilblick, la fonction de MacDonald c'est la K-Bessel :

    ?

    est entier ?

    La famille c'est pour m entier naturel ? relatif ? Et tu considères juste cette famille ou l'espace vectoriel engendré ?

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  4. #3
    rvz

    Re : espace de hilbert complexe

    Bonjour,

    Bon, je vais certainement dire des trivialités auxquelles tu as déjà pensé, mais on ne sait jamais.
    1/ Est ce que ta famille est orthogonale ? (Ca fait pas vraiment avancer le schmilblick, mais bon, du coup, ce serait pas juste une famille génératrice, mais aussi une famille libre)
    2/ As tu essayé en prenant z dans l'orthogonal de la famille ? Que doit vérifier z ?
    3/ As tu essayé aussi de te ramener au théorème de Stone Weierstrass ( normalement, il faut des conditions de stabilité par conjugaison et d'ensemble de base compact, mais peut-être qu'avec une mesure comme celle-ci, on peut s'en passer)
    Ca me fait penser que toutes les fonctions de la famille sont holomorphes. Sais tu approcher la fonction conjugué(z) ? (Bon, je sais, les propriétés d'holomorphie ne passent pas avec une limite L^2, et c'est pourquoi je pose la question. En plus, si tu peux approcher les conjugués de z^{2m}, tu vas pouvoir utiliser Stone Weierstrass)

    __
    rvz, pour des idées en vrac, sans doute toutes un peu fausses

  5. #4
    naddouyas

    Re : espace de hilbert complexe

    K_\alpha is the bessel function of the third kind, au fait je pense que l'ensemble dense est {z^{2m}\bar{z}^{2k}} k et m dans N, \alpha est un réel stric positif

  6. #5
    naddouyas

    Re : espace de hilbert complexe

    Merci pour tes remarques, au fait l'ensemble dense est certainement {z^{2m}\bar{z}^{2k}} il faut avoir les conjugués aussi, c sur. Mais j'ai vérifié que ce n'est pas un système orthonormal, il devrait etre dense c tout.
    Q'en pense tu?

  7. #6
    doudache

    Re : espace de hilbert complexe

    Salut !

    Une petite idée pour ce ramener à un compact : utiliser la sphère de Riemann, par la projection stéréographique de la sphère S2 sur le plan complexe. On a par exemple les formules




    Tu peux ensuite regarder ce que donne ta mesure sur S2, utiliser Stone-Weierstrass pour montrer que les fonctions qui t'intéressent sont denses dans l'ensemble des fonctions continues sur S2 qui envoient (0,0,1) sur (0,0,1) (c'est le point à l'infini), puis montrer que celles-ci sont denses dans L2, puis revenir au plan complexe.

    Ça fait pas mal de choses à regarder et je ne suis pas sur que cela marche... mais c'est une piste vraisemblable.

    Bon courage !

    P.S. : si tu maitrises la structure de variété sur P1(C), tu peux aussi travailler directement sur ce compact.

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