Intégrales au sens de Lebesgue

**ichigo01** · 02/12/2011, 20h05

Salut à tous,

J'ai besoin d'aide je ne trouve pas de démonstration pour le théorème suivant :

Soit $\text{[math]}$ un espace mesuré et f et g deux fonctions $\text{[math]}$
Si f = g $\text{[math]}$ alors :
$\text{[math]}$

Si vous avez une idée de la démonstration ou que vous pouvez m'indiquer une ?

Merci

**God's Breath** · 03/12/2011, 08h11

Quelle est la définition de $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ -presque partout ?

**Seirios** · 03/12/2011, 08h49

Bonjour,

Par linéarité de l'intégral, il suffit de montrer que si f est intégrable et nulle presque partout, alors son intégrale est nulle. Soit E un ensemble de mesure nulle tel que f est nulle sur B\E. Alors $\text{[math]}$ , d'où $\text{[math]}$ (En intégration, on prend la convention $\text{[math]}$ ).

EDIT : J'ai supposé f positive, mais tu peux faire le même raisonnement en moins l'infini.

**ichigo01** · 03/12/2011, 12h24

Envoyé par God's Breath

Quelle est la définition de $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ -presque partout ?

$\text{[math]}$ c'est à dire $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$

Envoyé par Seirios (Phys2)

Bonjour,

Par linéarité de l'intégral, il suffit de montrer que si f est intégrable et nulle presque partout, alors son intégrale est nulle. Soit E un ensemble de mesure nulle tel que f est nulle sur B\E. Alors $\text{[math]}$ , d'où $\text{[math]}$

Le problème qui se pose pour moi c'est que dans notre cours on montre d'abord le théorème pour $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ et après on montre celui que tu viens de citer !!

Merci.

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**Seirios** · 05/12/2011, 10h34

Envoyé par ichigo01

Le problème qui se pose pour moi c'est que dans notre cours on montre d'abord le théorème pour $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ et après on montre celui que tu viens de citer !!

En quoi est-ce un problème ? Les énoncés sont équivalents.

Intégrales au sens de Lebesgue

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