Serie entière arctan(x)

[uppa92]

Bonjour,
dans un exercice, on demande de redémontrer que

Pour cela, on utilise une suite de fonctions auxiliaires .

Et on demande d'intégrer la relation pour retomber sur la formule de arctan(x).

Voilà ce que j'ai fait :
1) (u_n(t)) est une suite de fonctions positives sur [0;1]
2) pour tout n, u_n est continue sur [0;1] et donc intégrable sur [0;1]
3) la série de fonctions converge simplement sur [0;1] vers .
Je peux donc appliquer le th de convergence monotone :
.

Et là je suis bloqué. Des idées ?
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[breukin]

Vous n'êtes pas bloqué, puisque vous avez terminé, vous avez démontré ce qu'il fallait.
Le premier terme, c'est bien arctan x, et le dernier c'est bien la somme indiquée.

[uppa92]

Mon problème, c'est comment montre-t-on que ??

[breukin]

Mais vous n'êtes pas dans une problématique de permutation des termes, où effectivement il faut être prudent !
Ici, les deux séries sont (presque) les mêmes, tout simplement, il suffit de les développer pour s'en rendre compte :




L'associativité est possible du fait que le terme tend vers 0.

Plus rigoureusement, vous pouvez voir que les sommes partielles sont égales quand le nombre de termes pour la seconde série est pair, et diffère d'une quantité qui tend vers 0 quand ce nombre est impair.

[A voir en vidéo sur Futura]

[uppa92]

OK merci pour votre aide.