Matrice symétrique réelle diagonalisable

[Tiky]

Bonsoir,

Dans un exercice de calculs différentiels, on me propose de faire une démonstration du fait que toute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans R.
On considère A une matrice réelle symétrique d'ordre n et on munit du produit scalaire euclidien.

On nomme la sphère unité et on définit l'application qui est de classe sur .

Dans un premier temps, j'ai montré que si admettait un extremum local en sur , alors était valeur propre de A. J'ai utilisé les multiplicateurs de Lagrange pour cela.

On me demande alors dans conclure que toute matrice réelle symétrique est diagonalisable sur R. J'ai essayé la démonstration suivante. Toutefois j'ai un doute certain sur sa validité.

L'idée est de procéder par récurrence sur l'ordre de la matrice A.
On remarque que est continue sur qui est un compact de . Donc admet un minimum global sur qui est donc a fortiori un minimum local sur .
Je note un vecteur pour lequel ce minimum est atteint et le multiplicateur de Lagrange correspondant. On a

En utilisant le procédé de Gram-Schmidt, je complète en une base orthonormée . Je pose .
Je sais alors que F est stable par l'endomorphisme correspondant à la matrice A. On en déduit que :


Il est alors facile de montrer que C est une matrice symétrique. On peut appliquer la même procédure à la matrice C en remplaçant par .

Donc :


Merci de votre relecture.
-----

[Tiky]

En fait mon problème vient du passage de minimum global à minimum local. Visiblement le théorème des extremas liés me permet de montrer que les extremums sur S sont des valeurs propres, que l'extremum soit local ou non.
Ce qui me dérange étant que la sphère est un fermé d'intérieur vide...

[God's Breath]

IL n'y a vraiment aucun problème : est continue et est compacte, ce qui assure l'existence d'extrema globaux de sur la sphère.

Puis on prouve qu'un extremum a lieu en un vecteur propre de , et on n'utilise que le caractère local de l'extremum ; rien de gênant ici, c'est un peu comme la démonstration du théorème de Rolle : les hypothèses assurent l'existence d'un extremum global sur , puis qu'il existe un tel extremum sur , ce qui permet de prouver que la dérivée s'annule; or ce dernier point n'utilise que le caractère local de l'extremum.

On conclut sans difficulté par récurrence.

Que la sphère soit d'intérieur vide ou non n'a aucune importance.

[Tiky]

Merci de ton aide. J'y vois plus clair désormais.

[A voir en vidéo sur Futura]