Bijection!

[invited5a21162]

Salut tout le monde,

petit exo sur la bijection:

On considère l'application f:R²→R²
(x,y)→ (x+y,x-y)

f est-elle bijective? Si oui, expliciter son application réciproque.

Je bloque BEAUCOUP sur l'écriture (x,y)->(x+y,x-y), je sais qu'il faut montrer qu'elle est à la fois injective et surjective mais comment s'y prendre?
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[God's Breath]

Bonjour,

Le plus simple est de prouver que tout élément (a,b) de R² admet un unique antécédent, ce qui fournit du même coup l'expression de la bijection réciproque.

Autrement dit, il faut résoudre en (x,y) : (x,y)→(a,b).

S'il y a toujours une solution unique, alors f est bijective et f^-1 est donnée par : (a,b)→(x,y).

[Thorin]

Salut,

le but du jeu est de résoudre, en fonction de x et y, le système a=x+y, b=x-y
si tu montres que pour tout couple a,b, il existe une et une seule solution, tu as montré l'injectivité et la surjectivité.

[invited5a21162]

ok, alors tout simplement on peut résoudre le système x+y=a et x-y=b ce qui me donne x=(a+b)/2 et y=(a-b)/2 pour uniques solutions avec a et b fixé donc c'est bijectif, tout simplement?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Snowey]

Oui
C'est un système linéaire qui permet de trouver très rapidement les solutions (comme tu l'as fait) qui sont bien uniques pour des valeurs de a et b fixées.
L'application est donc bijective de réciproque g: (a,b)------>((a+b)/2,(a-b)/2), comme tu l'as écrit (je ne fais donc que répéter ^^).

Remarque: D'ailleurs, on observe imédiatement que , ce qui confirme que f est bijective de réciproque g.
Dernier commentaire (peut être inutile, mais bon): cette transformation d'écriture , est parfois utile pour transformer des expressions comme qui vaut donc mais aussi parfois d'autres problèmes
Enfin, on s'éloigne peut être un peu de la bijection, quoique ^^