Diamètre de l'adhérence

[invitec5071ecd]

Bonjour à tous,

J'ai une question sur une preuve de mon cours de maths que je ne comprends pas, la voici :

On veut montrer que le diamètre de , avec E espace vectoriel et , est égal au diamètre de son adhérence : .

_Si A est de diamètre infini, c'est évident.

_Sinon, on a évidemment :

Réciproquement, soit . Comme x appartient à l'adhérence de A si et seulement pour tout boule de centre x, l'intersection de x et de A est non vide, on a :


Et donc là le prof finit en disant que .

Sauf que je ne comprends pas comment, à partir de là, il en déduit la deuxième inégalité... On n'a pas le droit d'écrire !

Merci d'avance
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[MMu]

Fais et tu obtient ..

[thepasboss]

Bonsoir,

Cette inégalité est valable pour tout espsilon strictement positif, donc on peut le faire tendre vers 0.

(de manière plus formelle, il faut faire un raisonnement par l'absurde)

[invitec5071ecd]

Et qu'est-ce qui justifie ce passage à la limite ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[cleanmen]

Ton prof fait sans doute: pr tout x,y, |x-y|<epsilon+diam(A)
la majoration ne dependant pas de x, y , on a donc: diam(Abarre)<epsilon+diam(A)
et cela pour tout epsilon, donc diam(Abarre)<=diam(A) (par exemple en raisonnamt par l'absurde comme le rapellait thepasboss)

[invitec5071ecd]

Euh non ce n'est pas une inégalité stricte.

Et pouvez-vous m'expliquer ce raisonnement par l'absurde ?

[thepasboss]

Suppose |x-y| > d(A) ou d(A) est le diamètre de A.

Alors il existe un nombre c strictement comprit entre |x-y| et d(A), alors il vient que |x-y| > c , donc |x-y| > d(A) + ( c - d(A) )

Or c - d(A) est un nombre strictement positif... D'où la contradiction.

[invitec5071ecd]

Euh je pense pas qu'on puisse prendre un c comme tu le fais, on n'est pas forcément dans un espace dense. Mais j'ai réussi à me faire la démo moi-même, merci !

[thepasboss]

On travail dans R là hein.
c est un réel. Donc si, j'ai le droit.

[invitec5071ecd]

Ah oui pardon. Au temps pour moi, merci