solutions particulières d'une ED linéaire ordre 2

[invited9a3a622]

Salut à tous,

Pourriez-vous svp me rappeler la règle permettant de trouver la forme d'une solution particulière dans le cas d'une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants ay''+by'+cy = P(x)[A cos(kx) + B sin (kx)].

Merci par avance
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[Snowey]

Juste une petite question préalable: est-ce que P(x) est un polynôme ?

[Snowey]

Bon, je suppose que oui.

Une méthode consiste à utiliser la superposition: en écrivant (E) ay"+by'+cy=AP(t)cos(kt)+BP(t)s in(kt), tu recheches une solution particulière de ay"+by'+cy=AP(t)cos(kt) puis une autre à ay"+by'+cy=BP(t)sin(kt).

Celà revient alors à considérer dans , où . Il suffira de considérer .
Lorsque Q est un polynôme de degré n, une solution particulière est à rechercher sous la forme avec H un polynôme dont on détermine le degré en observant l'ordre de multiplicité de k pour le polynôme caractéristique de l'ED homogène .
Si k n'est pas racine, H est de degré n.
Si k est racine simple, H est de degré n+1.
Si k est racine double, H est de degré n+2 ... etc.

Il ne te reste plus qu'à trouver une solution particulière, et à prendre sa partie réelle pour avoir cosinus (première équation, avec A) puis sa partie imaginaire (équation 2, avec B). Tu peux remarquer que ces deux solutions seront très proches.


Avec un exemple, les choses te paraîtront surement plus claires !

[invited9a3a622]

Bonsoir,

Merci de ta réponse, elle me convient très bien

Une autre question, est-ce qu'une équa diff du genre (x-4)y'=1 est linéaire ? Est-ce lié au principe de superposition des solutions ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited9a3a622]

Meilleurs voeux à tous

petit up sur ma question dans le message précédent :

est-ce qu'une équa diff du genre (x-4)y'=1 est linéaire ? Est-ce lié au principe de superposition des solutions ? Par exemple, si f et g sont deux solutions de l'équation, alors si kf + g l'est également ?