base de sous-espace engendré

[invite191682dc]

Bonsoir,

J'ai un exercice pour lequel il me faut trouver une base du sous-espace de IR[X] engendré par les polynômes :

3+3X+5X^2
6+9X-5X^2
12+18X-10X^2
4+6X+X^2
2+3X+6X^2

Sauriez-vous m'aider à voir comment faire ?
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[invite191682dc]

Pas d'idée ?

[invite73b538d6]

Est-ce l'application de R dans R⁵ qui à X associe le quintuplet des 5 valeurs donnée par les polynômes ?

[sebsheep]

Tes vecteurs sont tous dans , qui est de dimension 3. Donc l'espace engendré par tes polynômes est au plus de dimension 3. Comme les 2 premiers polynômes ne sont pas colinéaires, tu as déjà que l'espace engendré est de dimension 2 au moins. Essaie donc de voir si tu peux déjà déterminer la dimension de ta famille, ça t'aidera pour déterminer une base (je t'ai déjà fait une partie du travail).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite191682dc]

Justement, pour trouver la dimension de ce sous-espace, ne devrais-je pas d'abord trouver une base ?

[sebsheep]

Certes, je me suis mal exprimé :
* soit tu arrives à montrer que tu as 3 vecteurs libres, et dans cas, avec la remarque précédente, tu as donc une base de l'espace engendré (qui est inclus dans R_2[X], de dimension 3, il s'agit donc de R_2[X] tout entier)
* soit tu arrives à montrer que tous les autres polynômes sont des combinaisons linéaires des deux premiers et dans ce cas, l'espace engendré est de dimension 2 et une base est donné par les deux premiers polynômes.

[invite191682dc]

Et comme ici je vois que seulement 2 "équations" sont combinaisons linéaires l'une de l'autre, j'ai donc 4 vecteurs libres ce qui me donne R2 tout entier, et il me suffit alors de trouver une base pour R2, comme la base triviale. Juste ?