espace vectoriel

[invite86127669]

Bonjour,
j'aimerais savoir comment prouver que W={(a;a;a)|a est reel} est un sous espace vectoriel de E=R^3.
Pouvez vous m'aider?
Merci d'avance et bonne année
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[theguitarist]

hello !
Reviens à la définition d'un sous espace vectoriel, je te la redonne vu que c'est pas bien compliqué :




prouver ton résultat revient donc à montrer ces deux conditions


Quentin

[theguitarist]

hum désolé petit souci technique, je suis pas encore un pro de Latex ^^
on la refait :

F est un sous espace vectoriel de E et ^2, ^2,

ça devrait être mieux

[invite86127669]

bonjour, voici ce que j'ai mis:
cela correspond à W|x-y-z=0
0 de E appartient à W car 0-0-0=0
soit (a,b) de R² et (x,y) de W²
x=(x1,x2,x3) et y=(y1,y2,y3)
a.x+b.y = (ax1+by1)-(ax2+by2)-(ax3+by3) = a(x1-x2-x3)+b(y1-y2-y3) =0 donc ax+by appartient à W.
Qu'en pensez vous?

[A voir en vidéo sur Futura]

[theguitarist]

W={(a;a;a)|a est reel}

donc (x,y,z)W veut simplement dire x=y=z donc attention x-y-z n'est pas égal à 0
la seule condition que ça implique, c'est x=y=z donc si on a (u,v,w) qui vérifie u=v=w, alors (u,v,w) appartient à W

toutefois l'idée est bonne :
W est non vide puisque le neutre de R^3, qui est (0,0,0), vérifie x=y=z donc appartient à W

Par contre vous avez écrit a.x+b.y = (ax1+by1)-(ax2+by2)-(ax3+by3) ça me semble faux dans la mesure ou le membre de gauche appartient a priori à W (c'est ce que vous voulez montrer!) tandis que le membre de droite est un simple réel ! ce sont deux élément de nature différente (l'un est de la forme (x,y,z), l'autre de la forme x) ils ne peuvent donc pas être égaux!. En somme, a.x+b.y=(u,v,w) on veut donc montrer que si x et y sont dans W, alors u=v=w.

quand on veut montrer une implication c'est en général la même méthode :
- on commence par dire soient a,b deux réels, et X,Y deux éléments de W.
- on se sert des def ou des propriétés que l'on connait : ici X et dans W, donc X=(x,x,x) et de même Y=(y,y,y)
- on veut montrer que ax+by et dans W : rien de plus simple on calcule explicitement ax+by (qui doit être sous la forme (u,v,w) bien entendu, et non pas d'un réel) et on montre que u=v=w, ce qui termine la démonstration !
- bien sûr on conclue.

Quentin

(Dans ce genre de question, il ne faut surtout pas oublier de montrer que l'ensemble considéré est NON VIDE, cette condition est nécessaire et si on ne le dit pas tout est faux!)

[invite86127669]

Merci pour tout