Pouvez m'aider sur cet exercice et merci d'avance.
EX 1:
Soient a et b deux nombres réels tels que a < b et f une fonction defi nie et bornée sur [a;b].
Pour tout x de [a;b] on defi nit la fonction M par
M(x) = sup(f)
a<=t<=x
f(t)
Montrer que si f est continue en un point x0 de [a;b] et si f(x0) < M(x0) alors il existe un intervalle
ouvert non vide ]c ;d [ contenant x0 sur lequel la fonction M est constante.
Si f(x0)<M(x0) on dirait bien que ça veut dire que f n'est pas strictement croissante sur [a;b], et si elle est décroissante ou constante sur un sous intervalle [c;d] de [a;b], ba c'est gagné...
Merci pour la réponse d’abord
d'après ta réponse
si f est décroissante ou constante => M est constante
pourquoi ?
De plus l'existance d'un x0 tq f(x0)<M(x0) sa veut pas dire que f n'est pas strictement croissante (ne pas confondre le max et le sup d'une fonction)
Si f(x0)<M(x0), alors, par continuité de f, il existe un voisinage ]c,d[ de x0 sur lequel f(x)<M(x0) ; sur ce voisinage : M(x)=M(x0).
Attention, ici c'est un sup sur un compact (sur [a,x0] ). Donc si f est continue, c'est un max.Envoyé par hprepa
f n'est continue qu'en un point.
Ça m'apprendra à lire trop vite
