dm d'analyse

[laeti5690]

Bonjour, j'ai un dm d'analyse que je n'arrive pas à finir car certaines questions me pose problème.
Je remercie d'avance ceux qui pourront m'aider.

Soit a un réel, on considère la fonction f définie par: f: R --> R
x |--> e^ax

1) Justifier que l'on défnit une suite (u_n)n>0 par:
u₀= 0
quelque soit n appartenant à N, u_n+1 = f(u_n)

J'ai répondu: que la fonction f étant définie sur R, la suite u_n l'est aussi.

2)a) Etudier les variations de la fonction g définie par:
g: R --> R
x |--> lnx/x

J'ai trouvé g'(x)= (1-lnx)/x²
Donc la fonction n'est pas définie en O.
De 0 à e: la fonction est croissante.
De e à plus l'infini: la fonction est décroissante.
En e la fonction vaut 1/e

Par contre pour les limites en O et en plus l'infini je n'arrive pas...

2)b) En déduire le nombre de points fixes de f selon la valeur de a.

f(x)=x
e^ax = x
ax = lnx
a = lnx/x
Mais comment trouver la réponse à la question?
Je pense que 1/e est en point fixe mais y en a-t-il d'autres?

3) On suppose que a est supérieur ou égal à 0
a) Etudier la monotonie de f

J'ai dit qu'il y a 2 possibilités:
- Soit a=0: alors f est constante quelque soit x appartenant à R et vaut 1
- Soit a>0: alors f est strictement croissante car f '(x)= ae^ax et donc comme a>0, f suit la même monotonie que la fonction exponentielle.

3)b) Montrer que la suite u_n est croissante.

J'ai dit: comme la fonction f est strictement croissante quand a > 0, alors la suite l'est aussi.

3)c) Montrer que si a> 1/e, la suite u_n diverge vers plus l'infini.

Je ne sais pas comment faire...

3)d) On suppose que a appartient à [0, 1/e]; montrer que la suite un est majorée par e. Que peut-on en déduire?

Je ne sais pas comment faire pour montrer la majoration.
Mais ce qu'on peut en déduire, je pense que comme f est croissante est majorée, elle converge.

merci pour votre aide.
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[laeti5690]

personne?

[invite2e5fadca]

2a) Pour les limites, il faut utiliser la croissance comparée.

2b) f(x)=x <=> ln(x) / x = a <=> g(x)=a
Il faut donc étudier les cas ensuite. Tu trouves (à justifier) :
Si a>1/e pas de point fixe
Si a = 1/e, alors il y a un unique point fixe
Si a < 1/e, alors il y a deux points fixes.

3c) Ta suite est strictement croissante, donc soit elle est majorée et elle converge, soit elle diverge vers plus l'infini.
Supposons qu'elle soit majorée, alors sa limite vérifie f(l)=l, mais f n'a pas de point fixe d'après 2b). Donc elle diverge vers plus l'infini.

3d) Pour la majoration, il suffit de la faire par récurrence.