dimension de l'ensemble des endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension n

[invite613a4e44]

Bonsoir,
je me demande quelle est la dimension de l'ensemble des endomorphismes de E où E est un espace vectoriel de dimension n.
N'est-ce pas n²? Si oui, pouvez-vous me le démontrer?
merci!
-----

[Draune]

Oui bien sûr c'est n². Pour le démontrer tu construit l'application linéaire qui va de L(E) dans Mn(K) (ensemble des matrice d'orde n) : cette application est clairement un isomorphisme d'ev, donc les 2 espaces ont même dimension. Et dim (Mn(K)) = n².
Le tour est joué!!
Draune

[invite613a4e44]

Et pourquoi la dimension de l'ensemble des polynômes de degré inférieur à n est n+1?

[Coincoin]

Salut,
Tu peux très simplement faire une bijection avec Rⁿ⁺¹. Il suffit d'associer à un polynôme ses coefficients.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite613a4e44]

Je ne vois pas bien le rapport. Peux-tu m'expliquer un peu plus en détail? D'autre part, qu'est-ce qu'une base canonique?

[Coincoin]

Je fais une fonction qui à un polynôme a₀ + a₁ X + ... + a_n Xⁿ associe (a₀, a₁, ..., a_n). Cette fonction est une bijection de R_n[X] dans Rⁿ⁺¹, donc R_n[X] est de dimension n+1.
On peut aussi essayer de trouver une base. Dans ce cas, la base la plus intuitive qu'on peut prendre est appelée base canonique : {1, X, X², ..., Xⁿ}. Et tu vois qu'elle a n+1 éléments.

[invite613a4e44]

Mais la définition générale d'une base canonique, qu'est-ce que c'est?

[invite613a4e44]

Et je me demande aussi si l'ensemble des automorphismes de E muni de la loi + et de la loi rond est un espace vectoriel? Il me semble que non car la loi rond est une loi de composition interne.

[GuYem]

En effet ce n'en est pas un. Par contre ça la tête d'un corps.

Pour ta question sur les bases canoniques, ça n'a pas de sens strict. C'est juste disons "la" base la plus usuelle.

[invite2f68e9c6]

Oui bien sûr c'est n². Pour le démontrer tu construit l'application linéaire qui va de L(E) dans Mn(K) (ensemble des matrice d'orde n) : cette application est clairement un isomorphisme d'ev, donc les 2 espaces ont même dimension. Et dim (Mn(K)) = n².
Le tour est joué!!
Draune

ta démonstration est erronnée mon petit Draune.

Il faut juste dire qu'une matrice représente une application linéaire.

Donc la dimension de l'ensembles des applications linéaires est n^2 . CQFD

[matthias]

Et je me demande aussi si l'ensemble des automorphismes de E muni de la loi + et de la loi rond est un espace vectoriel?

En effet ce n'en est pas un. Par contre ça la tête d'un corps.

Il faudrait déjà que la loi + soit interne.

[matthias]

ta démonstration est erronnée mon petit Draune.

Il faut juste dire qu'une matrice représente une application linéaire.

Donc la dimension de l'ensembles des applications linéaires est n^2.

En quoi sa démonstration est-elle erronée selon toi ?
Et que peut bien vouloir dire qu'une matrice représente une application linéaire sinon qu'il existe un isomorphisme entre les deux espaces ?