Choix de norme sur un espace vectoriel de dimension finie.

[invite0f31cf4c]

Bonjour,
Bah voilà ... J'apprenais tranquillement mon cours de maths sur les integrales sur un espace vectoriel et il est rappellé que l'on peut choisir la norme utilisée sur l'espace s'il est de dimension finie.
Notre prof a dit que l'on prouvera peut-être ça si on a du temps à la fin de l'année et si on a été sage.
Mais n'empêche que je ne comprends pas bien pourquoi toutes ces normes ont une même topologie. Alors est-ce que quelqu'un peut m'expliquer sans rentrer dans les détails de la démonstration pourquoi le choix de norme est possible.
Merci !
++ !
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[indian58]

http://www.les-mathematiques.net/a/a...e21.php3#aabt1

[erik]

En effet en dimension fini toutes les normes sont équivalentes.
C'est à dire que si l'on a N1 et N2 deux normes sur un espace E de dimension fini alors il existe a et b réels tel que :
pour tout x appartenant à E on ait :
a*N1(x)<=N2(x)<=b*N1(x)

Evidemment avec N1 et N2 equivalentes, N1 et N2 d&#233;finissent une m&#234;me topologie sur E

Details ici : http://mail.mip.ups-tlse.fr/~gallego...CalculDiff.pdf