fonctions holomorphes

invite904d4f3d · 15/01/2012, 15h14

Bonjour ! J'ai une question d'analyse complexe.
Si on suppose f holomorphe, comment montrer que conjugué de f(conjugué de z) l'est aussi ? (autrement dit f barre(z barre)...) ?
Merci !

**God's Breath** · 15/01/2012, 15h33

Bonjour,

On revient à la définition de l'holomorphie, et on établit la C-dérivabilité en étudiant la limite éventuelle du taux de variation.

**Armen92** · 15/01/2012, 18h36

Envoyé par Kammm84

Bonjour ! J'ai une question d'analyse complexe.
Si on suppose f holomorphe, comment montrer que conjugué de f(conjugué de z) l'est aussi ? (autrement dit f barre(z barre)...) ?
Merci !

Selon le principe de réflexion de Schwarz, si le domaine d'holomorphie de $\text{[math]}$ inclut l'axe réel et si $\text{[math]}$ prend des valeurs réelles sur $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ .

invite904d4f3d · 16/01/2012, 15h11

Ça ne m aide pas beaucoup... J'ai encore rien vu des fonctions holomorphes à part la définition...

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**God's Breath** · 16/01/2012, 15h30

C'est pourtant simple: il suffit d'utiliser la définition.

Tu notes : $\text{[math]}$ , tu simplifie $\text{[math]}$ , et tu étudies la limite de ce taux de variation lorsque $\text{[math]}$ tend vers $\text{[math]}$ , pour savoir si $\text{[math]}$ est dérivable en $\text{[math]}$ .

invite904d4f3d · 16/01/2012, 21h40

donc on a lim ((g(z)-g(z_0))/(z-z_0)) = lim ((_f(_z) - _f(_z0))/(z-z0)), et vraiment je ne vois pas... Avec la meilleure volonté du monde...

**Tiky** · 17/01/2012, 00h59

Par définition $\text{[math]}$ .

Donc $\text{[math]}$
Finalement $\text{[math]}$

**breukin** · 17/01/2012, 13h24

En fait, vous n'y arrivez pas, et c'est normal !
Par exemple, essayez de voir si $\text{[math]}$ est dérivable en 0.

Le conjugé, pas plus que la partie réelle ou la partie imaginaires, ne sont holomorphes !

**taladris** · 17/01/2012, 16h04

Envoyé par breukin

En fait, vous n'y arrivez pas, et c'est normal !
Par exemple, essayez de voir si $\text{[math]}$ est dérivable en 0.

Mais $\text{[math]}$ n'est pas de la forme $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ une fonction holomorphe!

On peut la vérifier facilement la propriété demandée avec les conditions de Cauchy-Riemann. Si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ .

Cordialement

**breukin** · 17/01/2012, 17h37

Oui, exact, ce n'était pas la question.

**God's Breath** · 17/01/2012, 18h31

En notant, comme je le proposai : $\text{[math]}$ , on a facilement :

$\text{[math]}$

et le caractère holomorphe de $\text{[math]}$ .

**breukin** · 17/01/2012, 19h31

En fait, ma confusion provenait de la définition de la "fonction conjugée", qui pour moi, n'était pas le conjugé de la fonction, mais autre chose.

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