Algèbre classique - calcul de rang

[tibmaster]

Bonjour,

J'aurais besoin d'aide pour quelques pistes sur un petit exo d'algèbre, avis aux fans d'algèbre !

Voici l'énoncé du sujet: " Soient E un K-espace vectoriel de dimension 4 et tel que

Calculer le rang de f. "

Merci d'avance
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[Tiky]

Bonjour,

Cela revient à chercher la dimension du noyau de f.
Tu sais déjà que cette dimension est comprise strictement entre 0 et 4. En effet si c'était 0, ta fonction serait inversible mais
alors devrait être inversible. Si c'était 4, tu devrais avoir .

Maintenant on va fabrique une base dans laquelle la matrice de f est plutôt sympathique.
Soit mais qui n'est pas dans .
Alors la famille est une famille libre (exercice ).
Tu la complètes en une base avec .
Finalement tu écris la matrice de f dans la base .

La première colonne de cette matrice est inconnue. Il suffit de donner des noms aux coefficients de cette colonne. Enfin tu élèves la matrice au cube.
Tu obtiens alors des conditions sur les coefficients de la première colonne qui te permettront de conclure.

[tibmaster]

Bonsoir,
Merci pour l'aide

Par contre je n'ai pas compris l'histoire de quand on a complété la famille libre en une base avec e1 (n'est-ce pas déjà une base ?)

[Tiky]

Non c'est une famille libre de 3 éléments. Ton espace vectoriel E est de dimension 4.
J'ai oublié d'écrire que j'ai posé ensuite et

[A voir en vidéo sur Futura]

[tibmaster]

Ah oui d'accord.

J'aurais 2 questions pour éclaircir deux propriétés en algèbre:
1) Je fais donc une confusion: dans ma tête j'ai retenu une "pseudo-propriété-fausse" qui me disait qu'une famille libre en dimension finie était une base, où est mon erreur ici en disant que c'était une base (même si ça n'a pas d'intérêt direct avec l'exo ici)

2) Comme on a trouvé une famille libre de 3 vecteurs, le théorème de la base incomplète dit qu'on peut la compléter en une base de E: On peut prendre n'importe quel vecteur ? Sinon quelles conditions faut-il qu'il respecte ? (ici on le trouve en faisant la matrice au cube égale 0 puisque f est défini comme ça, aurait-on pu faire autrement, non je suppose ?)
Quelle est la méthode gnérale pour compléter une famille libre en une base de qqch ?

Merci !

[Tiky]

1) C'est faux. Une base est une famille libre et génératrice. Tu sais quand dimension finie, le cardinal d'une famille génératrice est supérieure ou égale à la dimension de l'espace et le cardinal
d'une famille libre est inférieure ou égale à la dimension de l'espace.

2) Le théorème de la base incomplète te dit que dans un espace vectoriel E, toute famille libre peut être complétée en une base de l'espace. Elle ne te dit pas comment. On n'a donc aucune information sur e1 dans notre cas.
Cela ne signifie pas qu'il est quelconque pour autant.