Espace préhilbertien

[invitedb595c58]

Bonjour,
Alors j'ai besoin d'aide sur quelques petites questions, les voici (elles n'ont pour la plupart aucun lien):

1) En utilisant le polynôme X^p(1-X)ⁿ, montrer que lorsque p<n.

2) Soit la matrice de terme général
Soit Montrer que le système MX=0 admet au moins une solution non nulle.

3)Soit E l'enemble des fonctions polynômes à coefficients réels et E_n l'ensemble des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à n. Montrer l'existence et l'unicité d'une suite (P_n) de polynômes unitaires telle que :
i) est de dégré n
ii)
Montrer que cette suite forme une base de E.

4) Je cherche aussi un exercice complet et corrigé sur les interpolation de Laguerre, si quelqu'un aurait cela, ou alors un explicatif de ces interpolations.

Cordialement,
Recof
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[Tiky]

Bonjour,

1) Utilise la définition du produit des polynômes formels puis évalue le polynôme produit en une valeur bien choisie.

3) Tu n'as pas précisé le produit scalaire. Il est quelconque ? Si oui utilise le procédé d'orthogonalisation de Gram-Schmidt pour l'existence. Dans le procédé, tu peux faire en sorte que les
polynômes soient unitaires plutôt que de norme 1.

Maintenant tu montres qu'une telle famille est bien une base. La liberté de la famille est évidente. Pour le caractère générateur. Il suffit de s'assurer que la famille finie est
une base de et cela quelque soit l'entier naturel n et de remarquer qu'un polynôme de E appartient toujours à un certain .

Pour l'unicité, tu supposes que tu as deux familles qui conviennent. Disons et .
Montre que est orthogonal à tous les vecteurs de l'espace. Il faut et il suffit que ce vecteur soit orthogonal à tous les éléments de puisqu'on
a montré que c'était une base de E.

[Tiky]

Pour l'unicité de la question 3), il faut rajouter une petite récurrence forte pour s'en sortir en fin de compte.

[invitedb595c58]

Merci pour votre réponse.

[A voir en vidéo sur Futura]