Petit défi en arithmétique formelle (Peano)

[Médiat]

Oui, c'est bien cela l'idée.

Je considère ce défi comme résolu, mais si certains veulent poser des questions, ils sont les bienvenus.

Comme dit ci-dessus, I'll be back.
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[Médiat]

Je commence par une question très facile, mais il y a sans doute plusieurs façons de démontrer le résultat :

Est-ce qu'il existe des nombre premiers non-standard dans tous les modèles non-standard ?

[Sylvestre]

Je dirais que le théorème fondamentale de l'arithmétique s'applique. Donc tout nombre peut se décomposer en produit de nombres premiers. Or le produit de deux nombres standards est standard, donc il doit exister des premiers non standards dans tout modèle non standard.
J'ai un doute sur le fait que le théorème fondamentale est un théorème de Peano.

[Médiat]

Bonjour,

Je dirais que le théorème fondamentale de l'arithmétique s'applique. Donc tout nombre peut se décomposer en produit de nombres premiers. Or le produit de deux nombres standards est standard, donc il doit exister des premiers non standards dans tout modèle non standard.
J'ai un doute sur le fait que le théorème fondamentale est un théorème de Peano.

J'ai aussi un doute, j'ai regardé plusieurs démonstrations du théorème fondamental, aucune ne peut s'appliquer à AP (entre autres parce qu'un modèle non-standard n'est pas un bon ordre et qu'on peut y trouver des descentes infinies).

Par contre on peut ré-utiliser le théorème sur la non-définissabilité de IN, sous une forme un peu différente : Toute formule vérifiée par un nombre infini d'entiers standard est vérifié par au moins un non standard (sinon on pourrait facilement définir IN).

Ce que je propose pour la suite c'est d'étudier les ensembles /p. On sait que dans le cas /p et p standard, ce sont des anneaux, et même des corps (finis) si p est premier ; en est-il de même dans le cas /p, et si oui, que peut-on dire des corps lorsque p est un premier non standard ?